Il modello intertemporale di valutazione dei titoli (intertemporal CAPM o ICAPM[1]) determina il rendimento teorico di un titolo quando gli investitori non sono solamente interessati al capitale alla fine del periodo considerato, come nel modello CAPM, ma tengono conto delle possibilità di consumo e di investimento durante tutto il periodo. Il rischio del consumo cambia quindi con il tempo. Le modifiche delle possibilità di investimento sono rappresentate da una variabile di stato. L'utilità istantanea dipende dal consumo (C) e dalla variabile di stato. Si scrive:
.
dove è il vettore dei rendimenti attesi, la matrice della covarianza dei rendimenti, un vettore unità e la covarianza dei rendimenti con la variabile di stato. Le parti ottimali sono allora:
Siccome queste proporzioni sono quelle dell'investitore rappresentativo, devono essere quelle del portafoglio di mercato secondo la definizione del CAPM. I rendimenti attesi possono dunque essere espressi nel modo seguente:
dove m indica il portafoglio del mercato e h un portafoglio utilizzato per coprirsi del rischio di cambiamento della variabile di stato.
Il modello ICAPM può spiegare il forte rendimento dei titoli di valore (value stocks) (con un rapporto valore contabile / valore di mercato elevato) rispetto ai titoli di crescita (growth stocks). Se i titoli di crescita proteggono l'investitore dai cambiamenti della variabile di stato, la copertura di questo rischio compensa il rendimento inferiore.
Campbell[4] propone una versione con tempo discreto del modello intertemporale di Merton utilizzando un'approssimazione lineare nei logaritmi del vincolo di bilancio e la funzione di utilità suggerita da Epstein et Zin[5]. Altre versioni con tempo discreto sono state proposte, in particolare da Fama[6].
Sia la funzione di utilità dell'investitore rappresentativo:
dove u è l'utilità istantanea, il consumo al periodo , una variabile di stato e è il tasso soggettivo di preferenza per il tempo[7] ( è il tasso di sconto soggettivo).
L'investitore massimizza l'utilità attesa:
sotto il vincolo:
dove è il titolo privo di rischio e il tasso di interesse del titolo privo di rischio.
La variazione del patrimonio è legata al beta del modello CAPM. La variazione della variabile di stato è legata alle possibilità di investimento. Il rendimento atteso di un titolo dipende dunque dalla covarianza con il portafoglio di mercato e dalla covarianza con la variabile di stato che è un'approssimazione delle possibilità di investimento. Gli investitori aumentano la quantità di attivi rischiosi che sono correlati negativamente con la variabile di stato.
Il modello intertemporale di valutazione degli attivi (ICAPM) può essere considerato come un fondamento teorico del modello a tre fattori di Fama e French[9]. Di conseguenza, i risultati favorevoli al modello di Fama e French sono anche dei risultati che confermano il modello ICAPM.
Campbell et al. [10] trovano che le restrizioni imposte dal modello ICAPM migliorino le capacità di previsione del rendimento atteso degli attivi finanziari.
^J.Y. Campbell, "Intertemporal Asset Pricing without Consumption", American Economic Review, 1993, p. 487-512
^L.Epstein and S. Zin, " Substitution, Risk Aversion, and Temporal Behavior of Consumption and Asset Returns: A Theoretical Framework ", Econometrica, 1989, p. 937-969
^E. Fama, " Multifactor Portfolio Efficiency and Multifactor Asset Pricing ", Journal of Financial and Quantitative Analysis, 1996, p. 441-465
^Il fattore di sconto psicologico delle utilità future
^K.J. Arrow and M. Kurz, Public Investment, The Rate of Return, And Optimal Fiscal Policy, London, 1970, p. 28
^ E.F. Fama and K.R. French, "The Capital Asset Pricing Model: Theory and Evidence", Journal of Economic Perspectives, 2004, 3, p. 39
^ J.Y. Campbell, S. Giglio and C. Polk, "Hard Times", Review of Asset Pricing Studies, 2013, p. 95-132