Non-disgiunzione inclusiva

La negazione NOR (o negazione congiunta) è un operatore vero-funzionale che rappresenta la negazione di un OR logico. In altre parole, una proposizione della forma $p\ NOR\ q$ è vera quando né p né q sono vere, cioè quando sia p sia q sono false. Ciò è logicamente equivalente ad affermare che $p\ NOR\ q$ = $\neg (p\lor q)$ = $\neg p\land \neg q$ , dove il simbolo $\neg$ indica la negazione logica (NOT), $\lor$ indica la disgiunzione logica (OR) e $\land$ la congiunzione logica (AND). Nella grammatica, "né...né" sono una coppia di congiunzioni che ben rappresentano, nel linguaggio, la negazione NOR.

L'operazione NOR è anche nota come freccia di Peirce. Nei suoi manoscritti inediti, Peirce la considerò inizialmente come un'operazione logica e dimostrò che può esprimere NOT, AND e OR logici. Edward Stamm^[1], Henry Sheffer^[2] e Jean Nicod^[3] furono i primi a discuterne all'interno di un'edizione a stampa. Quine introdusse il simbolo $\downarrow$ .^[4] Altri modi di indicare l'operatore NOR sono: l'ampheck ^{[N 1]} usato da Peirce, e né-né. Altri modi di denotare $P\downarrow Q$ includono P NOR Q e, nella notazione di Bocheński, "Xpq".

L'Apollo Guidance Computer fu interamente costruito con porte NOR a tre ingressi.^[5]

Definizione modifica

L'operazione NOR è un'operazione logica su due valori, tipicamente i valori di verità di due proposizioni, che genera il valore vero se e solo se i due operandi sono entrambi falsi. Detta altrimenti, essa genera un valore falso se e solo se almeno uno degli operandi è vero.

Tavola di verità modifica

L'operatore P NOR Q o $P\downarrow Q$ presenta la seguente tavola di verità:

$P$	$Q$	$P\downarrow Q$
Vero	Vero	Falso
Vero	Falso	Falso
Falso	Vero	Falso
Falso	Falso	Vero

Equivalenze logiche modifica

L'operatore logico NOR $\downarrow$ è la negazione della disgiunzione:

P\downarrow Q

\Leftrightarrow

\neg (P\lor Q)

Proprietà modifica

Il NOR logico è un'operazione funzionalmente completa poiché rispetta le cinque proprietà di:

conservazione del valore di vero e di falso,
linearità,
monotonia,
auto-dualità.

Come per il suo duale NAND^{[N 2]}, l'operazione NOR può essere usata da sola per costituire un sistema formale.

Altre operazioni booleane modifica

Il NOR e il NAND permettono di esprimere le altre operazioni booleane.

Espressi in termini di NOR $\downarrow$ gli operatori noti della logica proposizionale diventano:

$\neg P$	$\Leftrightarrow$	$P\downarrow P$
$\neg$	$\Leftrightarrow$

$P\rightarrow Q$	$\Leftrightarrow$	${\Big (}(P\downarrow P)\downarrow Q{\Big )}$	$\downarrow$	${\Big (}(P\downarrow P)\downarrow Q{\Big )}$
	$\Leftrightarrow$		$\downarrow$

$P\land Q$	$\Leftrightarrow$	$(P\downarrow P)$	$\downarrow$	$(Q\downarrow Q)$
	$\Leftrightarrow$		$\downarrow$

$P\lor Q$	$\Leftrightarrow$	$(P\downarrow Q)$	$\downarrow$	$(P\downarrow Q)$
	$\Leftrightarrow$		$\downarrow$

Note modifica

^ Edward Stamm, Beitrag zur Algebra der Logik, in Monatshefte für Mathematik und Physik, vol. 22, n. 1, 1911, pp. 137–149, DOI:10.1007/BF01742795.
^ Henry Maurice Sheffer, A set of five independent postulates for Boolean algebras, with application to logical constants, in Transactions of the American Mathematical Society, vol. 14, n. 4, 1913, pp. 481–488, DOI:10.1090/S0002-9947-1913-1500960-1.
^ Jean G. P. Nicod, A reduction in the number of the primitive propositions of logic, in Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, Mathematical and Physical Sciences, vol. 19, 1917, pp. 32–41.
^ Willard Van Orman Quine, Mathematical logic, 1ª ed., New York, W. W. Norton & Co., 1940.
^ Eldon C. Hall, Journey to the Moon: The History of the Apollo Guidance Computer, Reston, Virginia, USA, American Institute of Aeronautics and Astronautics, 1996, p. 196, ISBN 1-56347-185-X.

Annotazioni modifica

^ Dal greco antico ἀμφήκης , amphēkēs, "tagliare in entrambe le direzioni".
^ noto anche come operatore di Sheffer e simboleggiato da $\uparrow$ , $\mid$ o $/$ .