Nodo torico

In matematica, e più precisamente nella teoria dei nodi, un nodo torico è un tipo di nodo, contenuto nella superficie del toro. Più in generale, un link torico è un link contenuto nella superficie torica.

Un nodo torico, specificato dal parametro (3,7).

Nomenclatura

Un link torico è identificato da una coppia di interi $(p,q)$: la coppia sta a indicare che il link "gira" $p$ volte lungo il "meridiano" del toro e $q$ volte lungo la "longitudine". Il link è effettivamente un nodo (cioè ha una sola componente connessa) se $(p,q)$ sono interi coprimi.

Diagramma del nodo torico $(3,8)$.

Un nodo di tipo $(p,q)$ può essere descritto concretamente come curva nello spazio nel modo seguente:

$f:[0,2\pi ]\to \mathbb {R} ^{3}$

$f(\theta )=\left(\left(2+\cos \left({\frac {q\phi }{p}}\right)\right)\cos \phi ,\left(2+\cos \left({\frac {q\phi }{p}}\right)\right)\sin \phi ,\sin \left({\frac {q\phi }{p}}\right)\right).$

La curva giace nel toro determinato dall'equazione in coordinate cilindriche:

$(r-2)^{2}+z^{2}=1.$

Il nodo torico $(p,q)$ è banale se e solo se uno dei due interi $p$ e $q$ è uguale a 1. L'esempio più semplice di nodo torico non banale è quindi dato dalla coppia $(2,3)$: questo è il nodo a trifoglio.

Proprietà

Ogni nodo torico è primo. I nodi $(p,q)$ e $(q,p)$ sono equivalenti.

Il complementare del nodo torico $(p,q)$ ha gruppo fondamentale determinato dalla presentazione

$\langle x,y\mid x^{p}=y^{q}\rangle .$

Questo gruppo ha un centro non banale, isomorfo al gruppo $\mathbb {Z}$ degli interi, generato dall'elemento $x^{p}=y^{q}$. I nodi torici sono gli unici nodi il cui gruppo fondamentale ha un centro non banale.

Bibliografia

• (EN) Dale Rolfsen (1976). Knots and Links. Berkeley: Publish or Perish, Inc. ISBN 0-914098-16-0.