In matematica , con numero di Pisot-Vijayaraghavan (detto anche numero di Pisot oppure numero PV ) si indica un intero algebrico α che è reale e maggiore di
1
{\displaystyle 1}
, ma tale che i suoi elementi coniugati sono tutti minori di
1
{\displaystyle 1}
in valore assoluto .
Se ad esempio
α
{\displaystyle \alpha }
è un irrazionale quadratico , esso ha un unico coniugato
α
′
{\displaystyle \alpha '}
, ottenuto cambiando il segno della radice quadrata in
α
{\displaystyle \alpha }
da
α
=
a
+
b
d
{\displaystyle \alpha =a+b{\sqrt {d}}}
con
a
{\displaystyle a}
and
b
{\displaystyle b}
entrambi interi oppure entrambi la metà di un numero dispari, si ottiene il coniugato
α
′
=
a
−
b
d
.
{\displaystyle \alpha '=a-b{\sqrt {d}}.}
In questo caso si hanno le due condizioni
α
>
1
,
{\displaystyle \alpha >1,}
−
1
<
α
′
<
1
,
{\displaystyle -1<\alpha '<1,}
che sono soddisfatte dal numero aureo
ϕ
{\displaystyle \phi }
. Abbiamo infatti
ϕ
=
1
+
5
2
>
1
,
{\displaystyle \phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}>1,}
ϕ
′
=
1
−
5
2
=
−
1
ϕ
.
{\displaystyle \phi '={\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}={\frac {-1}{\phi }}.}
Nel caso i coniugati siano non maggiori di
1
{\displaystyle 1}
, e uno di essi abbia valore assoluto esattamente
1
{\displaystyle 1}
, il numero è detto numero di Salem .
Le caratteristiche generali per i numeri di Pisot sono state studiate inizialmente da G. H. Hardy in relazione a un problema di approssimazione diofantea . Il suo lavoro è stato proseguito da Tirukkannapuram Vijayaraghavan (30 novembre 1902 - 20 aprile 1955 ), un matematico indiano della regione del Madras che si trasferì a metà degli anni venti per lavorare con Hardy. Le stesse condizioni appaiono anche in alcuni problemi sulle serie di Fourier , e vennero studiate da Charles Pisot . Il nome usato comunemente per riferirsi a questi numeri deriva da entrambi gli autori.
I numeri di Pisot-Vijayaraghavan possono essere usati per generare quasi-interi : la potenza
n
{\displaystyle n}
-sima di un numero di Pisot "si avvicina a un intero" al tendere di
n
{\displaystyle n}
ad infinito. Ad esempio, si considerino le potenze di
ϕ
{\displaystyle \phi }
: abbiamo
ϕ
21
=
24476
,
0000409
{\displaystyle \phi ^{21}=24476,0000409}
, e l'effetto può essere ancora più pronunciato per i numeri di Pisot-Vijayaraghavan generati da equazioni di grado superiore.
Questa proprietà deriva dal fatto che per ogni
n
{\displaystyle n}
la somma delle potenze n-sime di un intero algebrico
x
{\displaystyle x}
e dei suoi coniugati è un numero intero. Se
x
{\displaystyle x}
è un numero di Pisot, le potenze
n
{\displaystyle n}
-sime degli altri coniugati tendono a
0
{\displaystyle 0}
per
n
{\displaystyle n}
che tende a infinito.
Il più piccolo numero di Pisot-Vijayaraghavan è la radice reale dell'equazione
x
3
−
x
−
1
{\displaystyle x^{3}-x-1}
: questo numero (approssimativamente 1,324718) è noto anche come numero plastico . "Numero d'argento" invece è la soluzione positiva dell'equazione di secondo grado
x
2
−
2
x
−
1
=
0
,
{\displaystyle x^{2}-2x-1=0,}
uguale al numero irrazionale algebrico
1
+
2
{\displaystyle 1+{\sqrt {2}}}
[1] .
Vi sono infiniti numeri di Pisot-Vijayaraghavan: il punto di accumulazione di valore minimo è il rapporto aureo
ϕ
=
1
+
5
2
≈
1
,
618033
{\displaystyle \phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1,618033}
.
Tabella dei numeri di Pisot
modifica
Ecco i 38 numeri di Pisot minori di 1,618, in ordine crescente.
#
Valore
Radice di...
1
1,3247179572447460260
x
3
−
x
−
1
{\displaystyle x^{3}-x-1}
2
1,3802775690976141157
x
4
−
x
3
−
1
{\displaystyle x^{4}-x^{3}-1}
3
1,4432687912703731076
x
5
−
x
4
−
x
3
+
x
2
−
1
{\displaystyle x^{5}-x^{4}-x^{3}+x^{2}-1}
4
1,4655712318767680267
x
3
−
x
2
−
1
{\displaystyle x^{3}-x^{2}-1}
5
1,5015948035390873664
x
6
−
x
5
−
x
4
+
x
2
−
1
{\displaystyle x^{6}-x^{5}-x^{4}+x^{2}-1}
6
1,5341577449142669154
x
5
−
x
3
−
x
2
−
x
−
1
{\displaystyle x^{5}-x^{3}-x^{2}-x-1}
7
1,5452156497327552432
x
7
−
x
6
−
x
5
+
x
2
−
1
{\displaystyle x^{7}-x^{6}-x^{5}+x^{2}-1}
8
1,5617520677202972947
x
6
−
2
x
5
+
x
4
−
x
2
+
x
−
1
{\displaystyle x^{6}-2x^{5}+x^{4}-x^{2}+x-1}
9
1,5701473121960543629
x
5
−
x
4
−
x
2
−
1
{\displaystyle x^{5}-x^{4}-x^{2}-1}
10
1,5736789683935169887
x
8
−
x
7
−
x
6
+
x
2
−
1
{\displaystyle x^{8}-x^{7}-x^{6}+x^{2}-1}
11
1,5900053739013639252
x
7
−
x
5
−
x
4
−
x
3
−
x
2
−
x
−
1
{\displaystyle x^{7}-x^{5}-x^{4}-x^{3}-x^{2}-x-1}
12
1,5911843056671025063
x
9
−
x
8
−
x
7
+
x
2
−
1
{\displaystyle x^{9}-x^{8}-x^{7}+x^{2}-1}
13
1,6013473337876367242
x
7
−
x
6
−
x
4
−
x
2
−
1
{\displaystyle x^{7}-x^{6}-x^{4}-x^{2}-1}
14
1,6017558616969832557
x
10
−
x
9
−
x
8
+
x
2
−
1
{\displaystyle x^{10}-x^{9}-x^{8}+x^{2}-1}
15
1,6079827279282011499
x
9
−
x
7
−
x
6
−
x
5
−
x
4
−
x
3
−
x
2
−
x
−
1
{\displaystyle x^{9}-x^{7}-x^{6}-x^{5}-x^{4}-x^{3}-x^{2}-x-1}
16
1,6081283851873869594
x
11
−
x
10
−
x
9
+
x
2
−
1
{\displaystyle x^{11}-x^{10}-x^{9}+x^{2}-1}
17
1,6119303965641198198
x
9
−
x
8
−
x
6
−
x
4
−
x
2
−
1
{\displaystyle x^{9}-x^{8}-x^{6}-x^{4}-x^{2}-1}
18
1,6119834212464921559
x
12
−
x
11
−
x
10
+
x
2
−
1
{\displaystyle x^{12}-x^{11}-x^{10}+x^{2}-1}
19
1,6143068232571485146
x
11
−
x
9
−
x
8
−
x
7
−
x
6
−
x
5
−
x
4
−
x
3
−
x
2
−
x
−
1
{\displaystyle x^{11}-x^{9}-x^{8}-x^{7}-x^{6}-x^{5}-x^{4}-x^{3}-x^{2}-x-1}
20
1,6143264149391271041
x
13
−
x
12
−
x
11
+
x
2
−
1
{\displaystyle x^{13}-x^{12}-x^{11}+x^{2}-1}
21
1,6157492027552106107
x
11
−
x
10
−
x
8
−
x
6
−
x
4
−
x
2
−
1
{\displaystyle x^{11}-x^{10}-x^{8}-x^{6}-x^{4}-x^{2}-1}
22
1,6157565175408433755
x
14
−
x
13
−
x
12
+
x
2
−
1
{\displaystyle x^{14}-x^{13}-x^{12}+x^{2}-1}
23
1,6166296843945727036
x
13
−
x
11
−
x
10
−
x
9
−
x
8
−
x
7
−
x
6
−
x
5
−
x
4
−
x
3
−
x
2
−
x
−
1
{\displaystyle x^{13}-x^{11}-x^{10}-x^{9}-x^{8}-x^{7}-x^{6}-x^{5}-x^{4}-x^{3}-x^{2}-x-1}
24
1,6166324353879050082
x
15
−
x
14
−
x
13
+
x
2
−
1
{\displaystyle x^{15}-x^{14}-x^{13}+x^{2}-1}
25
1,6171692963550925635
x
13
−
x
12
−
x
10
−
x
8
−
x
6
−
x
4
−
x
2
−
1
{\displaystyle x^{13}-x^{12}-x^{10}-x^{8}-x^{6}-x^{4}-x^{2}-1}
26
1,6171703361720168476
x
16
−
x
15
−
x
14
+
x
2
−
1
{\displaystyle x^{16}-x^{15}-x^{14}+x^{2}-1}
27
1,6175009054313240144
x
15
−
x
13
−
x
12
−
x
11
−
x
10
−
x
9
−
x
8
−
x
7
−
x
6
−
x
5
−
x
4
−
x
3
−
x
2
−
x
−
1
{\displaystyle x^{15}-x^{13}-x^{12}-x^{11}-x^{10}-x^{9}-x^{8}-x^{7}-x^{6}-x^{5}-x^{4}-x^{3}-x^{2}-x-1}
28
1,6175012998129095573
x
17
−
x
16
−
x
15
+
x
2
−
1
{\displaystyle x^{17}-x^{16}-x^{15}+x^{2}-1}
29
1,6177050699575566445
x
15
−
x
14
−
x
12
−
x
10
−
x
8
−
x
6
−
x
4
−
x
2
−
1
{\displaystyle x^{15}-x^{14}-x^{12}-x^{10}-x^{8}-x^{6}-x^{4}-x^{2}-1}
30
1,6177052198884550971
x
18
−
x
17
−
x
16
+
x
2
−
1
{\displaystyle x^{18}-x^{17}-x^{16}+x^{2}-1}
31
1,6178309287889738637
x
17
−
x
15
−
x
14
−
x
13
−
x
12
−
x
11
−
x
10
−
x
9
−
x
8
−
x
7
−
x
6
−
x
5
−
x
4
−
x
3
−
x
2
−
x
−
1
{\displaystyle x^{17}-x^{15}-x^{14}-x^{13}-x^{12}-x^{11}-x^{10}-x^{9}-x^{8}-x^{7}-x^{6}-x^{5}-x^{4}-x^{3}-x^{2}-x-1}
32
1,6178309858778122988
x
19
−
x
18
−
x
17
+
x
2
−
1
{\displaystyle x^{19}-x^{18}-x^{17}+x^{2}-1}
33
1,6179085817671650120
x
17
−
x
16
−
x
14
−
x
12
−
x
10
−
x
8
−
x
6
−
x
4
−
x
2
−
1
{\displaystyle x^{17}-x^{16}-x^{14}-x^{12}-x^{10}-x^{8}-x^{6}-x^{4}-x^{2}-1}
34
1,6179086035278053858
x
20
−
x
19
−
x
18
+
x
2
−
1
{\displaystyle x^{20}-x^{19}-x^{18}+x^{2}-1}
35
1,6179565199535642392
x
19
−
x
17
−
x
16
−
x
15
−
x
14
−
x
13
−
x
12
−
x
11
−
x
10
−
x
9
−
x
8
−
x
7
−
x
6
−
x
5
−
x
4
−
x
3
−
x
2
−
x
−
1
{\displaystyle x^{19}-x^{17}-x^{16}-x^{15}-x^{14}-x^{13}-x^{12}-x^{11}-x^{10}-x^{9}-x^{8}-x^{7}-x^{6}-x^{5}-x^{4}-x^{3}-x^{2}-x-1}
36
1,6179565282539765702
x
21
−
x
20
−
x
19
+
x
2
−
1
{\displaystyle x^{21}-x^{20}-x^{19}+x^{2}-1}
37
1,6179861253852491516
x
19
−
x
18
−
x
16
−
x
14
−
x
12
−
x
10
−
x
8
−
x
6
−
x
4
−
x
2
−
1
{\displaystyle x^{19}-x^{18}-x^{16}-x^{14}-x^{12}-x^{10}-x^{8}-x^{6}-x^{4}-x^{2}-1}
38
1,6179861285528618287
x
22
−
x
21
−
x
20
+
x
2
−
1
{\displaystyle x^{22}-x^{21}-x^{20}+x^{2}-1}
^ Marchetti, Rossi Costa, Dal numero aureo al numero plastico , in Archimede , n. 2, 2010.
Collegamenti esterni
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