Numero perfetto

Un numero si dice perfetto quando è uguale alla somma dei suoi divisori propri.

Ad esempio, il numero 28, divisibile per 1, 2, 4, 7, 14 è un numero perfetto (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14): lo stesso per 6 che è divisibile per 1, 2 e 3.

6 = 1 + 2 + 3
28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14

I numeri perfetti furono inizialmente studiati dai pitagorici. Un teorema enunciato da Pitagora e dimostrato da Euclide rivelò che se  2n+1 - 1  è un numero primo, allora  2n · (2n+1 - 1)  è perfetto. Successivamente Eulero dimostrò che tutti i numeri perfetti pari devono essere di tale forma.

Esempio: 6 = 21 · (22 - 1)

Da questo risulta che ogni numero perfetto pari è necessariamente:

2^n (2^{n+1}-1) = {(2^{n+1}-1)(2^{n+1}-1+1) \over 2} = {k(k+1) \over 2}
2^n (2^{n+1}-1) \,=\, 2^{2n+1} - 2^n= 2k^2-k

I primi 10 numeri perfetti sono:

L'undicesimo numero perfetto è composto da 65 cifre, il dodicesimo da 77 e il tredicesimo da ben 314 cifre. Si conoscono[1] solo 47 primi di Mersenne, e quindi 47 numeri perfetti[2]. Il più grande tra questi è 243,112,608 × (243,112,609 − 1), formato in base 10 da 25.956.377 cifre.

I primi 39 numeri perfetti sono sicuramente esprimibili come 2n(2n+1 - 1) con:

n+1 = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917 (Sequenza A000043 dell'OEIS).

Si conoscono altri 8 numeri perfetti maggiori, con

n+1 = 20996011, 24036583, 25964951, 30402457, 32582657, 37156667, 42643801, 43112609.

Tuttavia non si è ancora verificato se ve ne sono altri in mezzo.

Non si sa se i numeri perfetti continuino all'infinito né se esistono numeri perfetti dispari, però tutti i numeri perfetti pari terminano con 6 oppure con 8.

Infatti da  2n · (2n+1 - 1)  si ha che:
 2n è pari e termina 2, 4, 8, 6;
(2n+1 - 1)  è dispari e termina per 3, 7, 5, 1.
Il valore '5' va scartato in quanto cadrebbe l'ipotesi di primalità, quindi le coppie che rimangono sono (2,3), (4,7) e (6,1), i cui prodotti danno i numeri 6 ed 8, finali di ogni numero perfetto

Se la somma dei divisori è maggiore del numero, esso si dice abbondante, se risulta minore, verrà chiamato difettivo.

Benché esistano infiniti numeri lievemente difettivi, cioè difettivi solo per un'unità, ad esempio 4, i cui divisori sono 1 e 2, la cui somma è uguale a 3, nessuno è ancora riuscito a trovare numeri lievemente abbondanti.

Più in generale, i numeri lievemente difettivi sono uguali a:

2n · 2n+1

Note

  1. ^ Fino a giugno 2009.
  2. ^ GIMPS Home

Bibliografia

Voci correlate

Altri progetti

Collegamenti esterni

matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica