Operatore lineare chiuso

In matematica, e più specificatamente in analisi funzionale, gli operatori lineari chiusi sono un'importante classe di operatore lineari su uno spazio di Banach. Essi sono più generali degli operatori lineari limitati, e quindi non sono necessariamente continui, ma hanno lo stesso proprietà interessanti per definire lo spettro e (sotto certe assunzioni) un calcolo funzionale per tali operatori. Molti operatori lineari importanti che non sono limitati sono chiusi, come l'operatore derivata e la grande classe degli operatori differenziali, per esempio in meccanica quantistica l'operatore momento e l'operatore posizione.

Definizione

Sia $B$ uno spazio di Banach. Un operatore lineare:

$A\colon {\mathcal {D}}(A)\subset B\to B$

è detto chiuso se per ogni successione $\{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ in ${\mathcal {D}}(A)$ convergente a $x\in B$ tale che:

$\lim _{n\to \infty }Ax_{n}=y\in B\$

si ha che $x\in {\mathcal {D}}(A)$ e che:

$Ax=y\$

In modo equivalente, $A$ è chiuso se il suo grafico è chiuso in $X\oplus Y$.

Dato un operatore $A$, se la chiusura del suo grafico in $X\oplus Y$ è il grafico di un qualche operatore ${\overline {A}}$ allora ${\overline {A}}$ è la chiusura di $A$, e $A$ è detto chiudibile. $A$ è quindi chiudibile se è la restrizione di un operatore chiuso ${\overline {A}}$ al dominio ${\mathcal {D}}(A)$ di $A$.

Proprietà

• Per il teorema del grafico chiuso, ogni operatore chiuso definito su tutto lo spazio $X$ è limitato.

• Se $A$ è chiuso allora $A-\lambda I$ è chiuso, dove $\lambda$ è uno scalare e $I$ l'identità.

• Se $A$ è chiuso, allora il suo nucleo è un sottospazio chiuso di $X$.

• Se $A$ è chiuso e iniettivo, allora il suo inverso $A^{-1}$ è chiuso.

• Un operatore $A$ ammette una chiusura se e solo se per ogni coppia di successioni $\{x_{n}\}$ e $\{y_{n}\}$ in ${\mathcal {D}}(A)$ convergenti a $x$ e tali che sia $\{Ax_{n}\}$ che $\{Ay_{n}\}$ convergono, si ha:

$\lim _{n}Ax_{n}=\lim _{n}Ay_{n}\$

Bibliografia

• (EN) Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2ª ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6.

Voci correlate

• Operatore lineare continuo
• Operatore limitato
• Spazio di Banach
• Spettro (matematica)
• Teorema del grafico chiuso

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Operatore lineare chiuso, su MathWorld, Wolfram Research.