Operatore di Markov

Nella teoria della probabilità e nella teoria ergodica, un operatore di Markov è un operatore in uno specifico spazio delle funzioni che conserva la massa (la cosiddetta proprietà di Markov).

Definizioni

Operatore di Markov

Sia $(X,{\mathcal {A}},\mu )$ uno spazio di misura. Ogni operatore lineare $P:L^{1}\rightarrow L^{1}$ che soddisfa

• $Pf\geq 0$, per $f\geq 0$, $f\in L^{1}$,
• $\|Pf\|=\|f\|$, per $f\geq 0,f\in L^{1}$

è detto operatore di Markov.

In particolare dal secondo punto si deduce subito che l'operatore di Markov è una contrazione.

Semigruppo di Markov

Una famiglia $\{P(t)\}_{t\geq 0}$ di operatori di Markov che soddisfa le condizioni

• $P(0)=Id$,
• $P(t+s)=P(t)P(s)$ per $s,t\geq 0$,
• $\forall f\in L^{1},t\mapsto P(t)f$ è continua

è detta semigruppo di Markov.

Generatore infinitesimale del semigruppo

Sia $\{P_{t}\}_{t\geq 0}$ una famiglia di operatori di Markov lineari limitati sullo spazio di Hilbert $L^{2}(\mu )$, dove $\mu$ è una misura invariante. Il generatore infinitesimale $L$ del semigruppo di Markov ${\mathcal {P}}=\{P_{t}\}_{t\geq 0}$ è definito come

$Lf=\lim \limits _{t\downarrow 0}{\frac {P_{t}f-f}{t}},$

ed il dominio $D(L)$ è lo spazio $L^{2}(\mu )$ di tutte le funzioni ove esiste tale limite, coincidente esso stesso con $L^{2}(\mu )$.

$D(L)=\left\{f\in L^{2}(\mu ):\lim \limits _{t\downarrow 0}{\frac {P_{t}f-f}{t}}{\text{ esiste ed è in }}L^{2}(\mu )\right\}.$

Bibliografia

• Bakry, Dominique; Gentil, Ivan; Ledoux, Michel. Analysis and Geometry of Markov Diffusion Operators. Springer Cham. doi:10.1007/978-3-319-00227-9.

• Eisner, Tanja; Farkas, Bálint; Haase, Markus; Nagel, Rainer (2015). "Markov Operators". Operator Theoretic Aspects of Ergodic Theory. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 2727. Cham: Springer. doi:10.1007/978-3-319-16898-2.

• Wang, Fengyu (2006). Functional Inequalities Markov Semigroups and Spectral Theory. Ukraine: Elsevier Science.
• Lasota, Andrzej; Mackey M.C. Chaos, fractals, and noise: stochastic aspects of dynamics. Springer, second edition, 1994.

Voci correlate

• Operatore
• Andrey Markov