Polinomi di Fibonacci

In matematica, i polinomi di Fibonacci sono una generalizzazione dei numeri di Fibonacci. Questi polinomi sono definiti ricorsivamente come:

F_{n}(x)=\left\{{\begin{matrix}1,\qquad \qquad \qquad \qquad &{\text{se }}n=1,\\x,\qquad \qquad \qquad \qquad &{\text{se }}n=2,\\xF_{n-1}(x)+F_{n-2}(x),&{\text{se }}n\geq 3.\end{matrix}}\right.

I primi polinomi di Fibonacci sono:

F_{1}(x)=1;

F_{2}(x)=x;

F_{3}(x)=x^{2}+1;

F_{4}(x)=x^{3}+2x;

F_{5}(x)=x^{4}+3x^{2}+1;

F_{6}(x)=x^{5}+4x^{3}+3x.

Altre espressioni modifica

La formula esplicita per l' $n$ -esimo polinomio di Fibonacci è:

F_{n}(x)=\sum _{k=0}^{\left[{\frac {n-1}{2}}\right]}{\binom {n-k-1}{k}}x^{n-2k-1},

dove le parentesi quadre rappresentano la funzione parte intera.

Calcolo dei polinomi di Fibonacci a partire dal triangolo di Tartaglia

I coefficienti del polinomio $n$ -esimo si possono ricavare anche dal triangolo di Tartaglia tramite il seguente algoritmo:

si dispongono i numeri del triangolo incolonnati con allineamento a sinistra;
si prende il primo elemento della $n$ -esima riga;
si prende il secondo elemento della $n$ -esima riga (se esiste);
da questo si procede in diagonale, spostandosi di una riga in alto e una colonna a destra, fino a che si trovano elementi.

Calcolando i polinomi in $x=1$ , che è lo stesso che sommare i coefficienti di ciascun polinomio, si ottengono i numeri di Fibonacci.
I polinomi di Fibonacci $F_{n}(x)$ e $F_{m}(x)$ sono divisibili fra loro se e solo se lo sono $n$ e $m$ .
Le radici del polinomio $F_{n}(x)$ sono date dalla seguente formula:

2i\cos \left({\frac {k\pi }{n}}\right),\qquad k=1,2,\ldots ,n-1.

Il polinomio $F_{n}(x)$ è irriducibile sul campo $\mathbb {Q}$ dei numeri razionali se e solo se $n$ è primo, inoltre, in tal caso, le sue radici si ottengono moltiplicando per $\pm 2i$ la parte reale delle radici del corrispondente polinomio ciclotomico.

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