Polinomio osculatore

In matematica applicata, si definisce polinomio osculatore un polinomio interpolatore che nei nodi $x_{i}$ (i = 1, ..., n) soddisfa alcune condizioni più restrittive in aggiunta alla semplice interpolazione di punti:

$P^{(k)}(x_{i})=f^{(k)}(x_{i}),k\in {\{0,...,l\}}$

Si hanno i seguenti casi particolari:

• per $l=0$ si ha l'interpolazione di Lagrange;
• per $l=1$ si ha l'interpolazione di Hermite.

Polinomio osculatore di Hermite

Dati $n+1$ nodi $x_{i}$ il polinomio osculatore di Hermite è un polinomio di grado al più $2n+1$ tale che:

• $p(x_{i})=f(x_{i})$

• $p'(x_{i})=f'(x_{i})$

per i che va da 0 a n.

Può essere rappresentato nella forma:

$p(x)=\sum _{j=0}^{n}U_{j}(x)f(x_{j})+\sum _{j=0}^{n}V_{j}(x)f'(x_{j})$

dove a loro volta i polinomi $U_{j}(x)$e $V_{j}(x)$ sono funzioni dei polinomi di Lagrange:

• $U_{j}(x)=[1-2L'_{j}(x_{j})(x-x_{j})]L_{j}^{2}(x)$
• $V_{j}(x)=(x-x_{j})L_{j}^{2}(x)$

Si può quindi facilmente verificare che:

1. I polinomi U e V hanno grado 2n + 1
2. valgono le relazioni proprie dei polinomi di Lagrange.