Punti di Brocard

In geometria, i punti di Brocard sono speciali punti di un triangolo.

terzo punto di Brocard
Codice ETC	76
Coniugato isotomico	punto di Lemoine
Coordinate baricentriche
λ1	1/a2
λ2	1/b2
λ3	1/c2
Coordinate trilineari
x	1/a3
y	1/b3
z	1/c3

Prendono il nome da Henri Brocard.

Definizioni

Il primo punto di Brocard di un triangolo con vertici A, B, C e lati opposti a, b, c è definito come l'unico punto P tale che i segmenti AP, BP e CP formano lo stesso angolo con i lati c, a, b, cioè

${\widehat {PAB}}={\widehat {PBC}}={\widehat {PCA}}$

Inoltre, detto ω tale angolo e α, β, γ gli angoli corrispondenti ai vertici A, B, C, vale la seguente uguaglianza:

$\cot \omega =\cot \alpha +\cot \beta +\cot \gamma$

Il secondo punto di Brocard del triangolo è definito come l'unico punto tale che i segmenti AQ, BQ, CQ formano lo stesso angolo con i lati b, c, a, cioè

${\widehat {QCB}}={\widehat {QBA}}={\widehat {QAC}}$

e tale angolo risulta essere lo stesso dell'angolo ω relativo al primo punto di Brocard P.

La differenza tra i due punti ricade evidentemente nell'ordine con cui sono presi gli angoli del triangolo: il primo punto di Brocard di ABC coincide con il secondo punto di Brocard di ACB.

I due punti di Brocard di uno triangolo sono coniugati isogonali.

Il terzo punto di Brocard, dato dalle trilineari a^-3 : b^-3 : c^-3 o anche da csc(A − ω) : csc(B − ω) : csc(C − ω), è il punto medio dei punti di Brocard del triangolo anticomplementare ed è il coniugato isotomico del punto simedianico del triangolo.

Costruzione

Costruzione del primo punto di Brocard di un triangolo

Si può costruire il primo punto di Brocard in una maniera molto elegante, rappresentata nella figura a fianco: si intersechi l'asse di AB con la perpendicolare a BC passante per B. Si tracci un cerchio avente centro in questo punto che passi per B; tale cerchio passerà anche per A. Si ripeta la costruzione similmente con gli altri lati: i tre cerchi avranno un punto d'intersezione, che corrisponderà con il primo punto di Brocard di ABC.

Proprietà

Le coordinate trilineari dei punti di Brocard sono rispettivamente c/b : a/c : b/a e b/c : c/a : a/b. Essi sono un esempio di coppia bicentrica di punti, ma non di centri triangolari. Il loro punto medio ha coordinate sin(A + ω) : sin(B + ω) : sin(C + ω) ed al contrario è un centro triangolare.

Voci correlate

• Cerchio di Brocard
• Figure di Brocard
• Teorema di Alasia

Collegamenti esterni

• Terzo punto di Brocard su MathWorld
• Coppie bicentriche di punti e centri triangolari relativi (PDF), su forumgeom.fau.edu.
• Coppie bicentriche di punti, su faculty.evansville.edu.
• Punti bicentrici su MathWorld
• (EN) Clark Kimberling, X₃₉, in Encyclopedia of Triangle Centers, University of Evansville, 22 ottobre 2013.
• (EN) Clark Kimberling, X₇₆, in Encyclopedia of Triangle Centers, University of Evansville, 22 ottobre 2013.