Quadrato perfetto

In matematica un quadrato perfetto o numero quadrato è un numero intero che può essere espresso come il quadrato di un altro numero intero, ovvero un numero la cui radice quadrata principale è anch'essa un numero intero. Ad esempio, 9 è un quadrato perfetto in quanto può essere scritto come 3 × 3. Un numero è un quadrato perfetto quando, scomposto, presenta tutti esponenti pari: scrivendo il numero come prodotto di potenze di numeri primi ottenuti dalla scomposizione si ha che la radice quadrata di tale prodotto è intera se tutti i fattori si estraggono di radice, ciò può accadere solo se l'esponente di ogni fattore è pari.

Talora da questi numeri si esclude lo zero, cioè per quadrato perfetto si intende un intero positivo che è il quadrato di un altro intero positivo.

Esempi

I primi 100 quadrati perfetti sono:

0² = 0

1² = 1

2² = 4

3² = 9

4² = 16

5² = 25

6² = 36

7² = 49

8² = 64

9² = 81

10² = 100

11² = 121

12² = 144

13² = 169

14² = 196

15² = 225

16² = 256

17² = 289

18² = 324

19² = 361

20² = 400

21² = 441

22² = 484

23² = 529

24² = 576

25² = 625

26² = 676

27² = 729

28² = 784

29² = 841

30² = 900

31² = 961

32² = 1024

33² = 1089

34² = 1156

35² = 1225

36² = 1296

37² = 1369

38² = 1444

39² = 1521

40² = 1600

41² = 1681

42² = 1764

43² = 1849

44² = 1936

45² = 2025

46² = 2116

47² = 2209

48² = 2304

49² = 2401

50² = 2500

51² = 2601

52² = 2704

53² = 2809

54² = 2916

55² = 3025

56² = 3136

57² = 3249

58² = 3364

59² = 3481

60² = 3600

61² = 3721

62² = 3844

63² = 3969

64² = 4096

65² = 4225

66² = 4356

67² = 4489

68² = 4624

69² = 4761

70² = 4900

71² = 5041

72² = 5184

73² = 5329

74² = 5476

75² = 5625

76² = 5776

77² = 5929

78² = 6084

79² = 6241

80² = 6400

81² = 6561

82² = 6724

83² = 6889

84² = 7056

85² = 7225

86² = 7396

87² = 7569

88² = 7744

89² = 7921

90² = 8100

91² = 8281

92² = 8464

93² = 8649

94² = 8836

95² = 9025

96² = 9216

97² = 9409

98² = 9604

99² = 9801

Proprietà

Un numero m è un quadrato perfetto soltanto se è possibile disporre m punti per formare un quadrato geometrico, per questo l'elevamento alla seconda potenza è chiamato anche elevamento al quadrato.

1
4
9
16
25

La formula dell'n-esimo quadrato perfetto è n².

Si osserva inoltre che la successione delle differenze fra due quadrati perfetti consecutivi è la successione dei numeri dispari positivi:

1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, ..., 2n - 1 ,2n + 1 , ...

L'n-esimo quadrato perfetto è perciò equivalente alla somma dei primi n numeri dispari, come si può vedere dalle figure sopra, dove un quadrato viene ottenuto dal precedente aggiungendo un numero dispari di punti. Ad esempio:

5² = 25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9.

La somma dei numeri dispari si può scrivere sotto forma di sommatoria: $n^{2}=\sum _{k=0}^{n-1}(2k+1)$.

L'n-esimo quadrato perfetto può essere calcolato dal precedente nel seguente modo:

n² = (n-1)² + (2n-1)

Ad esempio:

6² = 5² + (2×6 - 1) = 25 + 11 = 36

L'n-esimo quadrato perfetto può essere calcolato dai precedenti due nel seguente modo:

n² = 2 × (n-1)² - (n-2)² + 2

Ad esempio:

6² = 2×5² - 4² + 2 = 2×25 - 16 + 2 = 50 - 16 + 2 = 36

L'n-esimo quadrato perfetto può essere calcolato dai precedenti tre nel seguente modo:

n² =(n-1)² + (n-2)² - (n-3)² + 4

Ad esempio:

6² = 5² + 4² - 3² + 4 = 25 + 16 - 9 + 4 = 45 - 9 = 36

Un quadrato perfetto equivale anche alla somma di due numeri triangolari consecutivi. La somma di due numeri quadrati consecutivi è un numero quadrato centrato. Ogni numero quadrato dispari è anche un numero ottagonale centrato.

Il teorema dei quattro quadrati dice che ogni intero positivo può essere scritto come somma di 4 quadrati perfetti. 3 quadrati perfetti non sono sufficienti per i numeri nella forma 4^m(8h + 7). Un intero positivo può essere scritto come somma di due quadrati se e solo se la sua fattorizzazione non contiene potenze dispari di numeri primi nella forma 4k+3. Questo risultato è generalizzato nel problema di Waring.

I numeri quadrati sono gli unici ad avere un numero dispari di divisori. Un intero positivo che non ha come divisore nessun quadrato perfetto ad eccezione di 1 si chiama privo di quadrati.

Poiché il prodotto di due numeri negativi è positivo, così come quello di due numeri positivi, nessun numero quadrato è negativo. Ciò ha conseguenze importanti. Ne deriva, in particolare, che non si possa estrarre la radice quadrata di un numero negativo all'interno dei numeri reali. Questo lascia una lacuna nell'insieme dei reali che i matematici hanno riempito creando i numeri immaginari, a cominciare da i, che è per convenzione la radice quadrata di -1.

Quadrati perfetti razionali

La definizione di quadrato perfetto può essere estesa all'ambito dei numeri razionali. Si introduce così il concetto di quadrato perfetto razionale, cioè un numero razionale non negativo esprimibile come frazione che in forma ridotta ha come numeratore e come denominatore due quadrati perfetti, il secondo dei quali diverso da 0.

Per esempio 4/9 = 2/3 × 2/3.

I quadrati perfetti razionali sono i soli numeri razionali non negativi la cui radice quadratica principale è anch'essa un numero razionale (non negativo); le radici quadrate di tutti gli altri numeri razionali sono numeri irrazionali, cioè non si possono esprimere come frazioni.

Voci correlate

• Numero triangolare
• Numero poligonale
• Numero quadrato triangolare
• Identità dei quattro quadrati di Eulero
• Numero automorfo
• Quadrato (algebra)

Altri progetti

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Collegamenti esterni

• (EN) square number, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Quadrato perfetto, su MathWorld, Wolfram Research.