Regola della funzione inversa
In analisi matematica, la regola della funzione inversa è una regola di derivazione che permette di calcolare la derivata della funzione inversa di una funzione derivabile, quando essa esiste, anche senza conoscerne l'equazione.
Definizione modifica
Se definita, la derivata della funzione inversa è il reciproco della derivata della funzione calcolata nella controimmagine del punto. Più precisamente, se è una funzione invertibile, se , se è continua nel punto e se esiste , allora è derivabile in e vale:
={1 \over f'(x_{0})},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/627b46ca18bf53bf44863894d1c20970baa2b035)
dove e sono notazioni che indicano la derivata e indica la parte interna di
![{\displaystyle D[f^{-1}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc992441e04db33d0584677307f90a410ce13e29)
Per l'esistenza della funzione inversa è sufficiente che la funzione sia strettamente monotona nel suo dominio. Per la continuità della funzione inversa è sufficiente supporre che la funzione sia strettamente monotona su un intervallo.
La richiesta è necessaria per garantire che l'espressione sia ben definita. Basti pensare, ad esempio, alla funzione La funzione è monotona strettamente crescente, ma la sua inversa non è derivabile in
Anche la richiesta che sia continua nel punto è necessaria. È infatti possibile (ma la costruzione non è semplicissima) costruire un esempio di una funzione invertibile e con derivata in uguale a , la cui inversa nel punto non è continua (e quindi neppure derivabile).
Dimostrazione modifica
Poniamo e rispettivamente per semplicità. Allora:
=\lim _{y\to y_{0}}{f^{-1}(y)-f^{-1}(y_{0}) \over y-y_{0}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20c552fbe48e173d1e96fe673452329f8d0903cb)
=\lim _{x\to x_{0}}{x-x_{0} \over f(x)-f(x_{0})}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff0335df4609c90544a9bd246b0a575527197f17)
={1 \over f'(x_{0})}={1 \over f'(f^{-1}(y_{0}))}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a4b33d277e74a75b08268b34a8eaa935e2c9b8a)
Esempio modifica
Sia , con . Dunque e .
![{\displaystyle D[\arctan(y)]={1 \over D[\tan(x)]}={1 \over 1+(\tan x)^{2}}={1 \over 1+y^{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a32c137a0fe40a0a6d671626458e954cac7336b)
