Riferimento proiettivo
In matematica, e più precisamente in geometria proiettiva, un riferimento proiettivo è una struttura, simile a quella di base per gli spazi vettoriali, che permette di assegnare ad ogni punto di uno spazio proiettivo delle coordinate omogenee.
Definizione modifica
Sia uno spazio proiettivo di dimensione (cioè ha dimensione ). Un riferimento proiettivo è una collezione di punti in
tali che nessun sottoinsieme di di questi punti è contenuto in un iperpiano.
Proprietà modifica
Dal riferimento alla base modifica
Un riferimento proiettivo identifica una base dello spazio vettoriale in modo unico, a meno di un fattore moltiplicativo (non nullo applicato a tutti i vettori della base). Tramite la base, è quindi possibile scrivere ogni vettore di in coordinate, e quindi ogni vettore di in coordinate omogenee.
Più precisamente, indicando con la proiezione
vale il fatto seguente:
Esiste una base di tale che
Ogni altra base con questa proprietà è del tipo , per qualche in .
Per il loro ruolo, i punti sono detti punti fondamentali e è il punto unità.
I punti fondamentali non sono sufficienti a determinare una base a meno di un solo fattore globale: per questo scopo è necessario considerare anche il punto unità.
Dalla base alle coordinate omogenee modifica
Tramite la base , ogni vettore di è descrivibile tramite le sue coordinate, determinate dalla relazione
Le coordinate di sono quindi . È quindi possibile assegnare alla sua proiezione le coordinate omogenee
Il fattore di arbitrarietà nella scelta della base non influisce nel risultato: infatti la base fornisce le coordinate
equivalenti alle precedenti, poiché omogenee.
Le coordinate omogenee dei punti risultano essere quindi rispettivamente
Esempi modifica
Retta proiettiva modifica
In una retta proiettiva, un sistema proiettivo necessita di tre punti distinti e , le cui coordinate saranno quindi rispettivamente e .
Piano proiettivo modifica
In un piano proiettivo, un sistema proiettivo necessita di quattro punti e . Per ipotesi, tre di questi quattro punti non devono mai giacere su una stessa retta, cioè non devono essere allineati. Le loro coordinate saranno rispettivamente , , e .