Semispazio di Poincaré

Il semispazio di Poincaré è un modello di geometria iperbolica, descritto dal matematico francese Jules Henri Poincaré. Un altro modello con caratteristiche simili è il disco di Poincaré.

Tassellatura eptagonale del modello.

Definizione modifica

Il semispazio di Poincaré è il semispazio  -dimensionale

 

dotato del tensore metrico

 

In altre parole, il tensore metrico nel punto   è

 

dove   è la delta di Kronecker. Cioè

 

dove   è la matrice identità  -dimensionale. Si tratta quindi dell'usuale tensore metrico euclideo, riscalato di un fattore positivo

 

che dipende dal punto, e che tende a infinito se il punto si avvicina all'iperpiano  .

Proprietà modifica

Il tensore metrico è definito positivo in ogni punto: il semispazio di Poincaré è quindi una varietà riemanniana di dimensione  . Su una varietà riemanniana sono quindi definiti i concetti di distanza, geodetica e angolo. Attraverso una opportuna inversione circolare si può costruire facilmente un isomorfismo tra questo modello e il disco di Poincaré.

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