Somma di Dedekind

In matematica, le somme di Dedekind, così chiamate in onore di Richard Dedekind, sono funzioni di tre argomenti a valori interi esprimibili mediante specifiche somme di prodotti di valori della funzione a denti di sega. Dedekind le ha introdotte per formulare l'equazione funzionale della funzione eta di Dedekind. In seguito, queste funzioni speciali sono state ampiamente studiate nella teoria dei numeri e sono risultate utili in alcuni problemi di topologia. Le somme di Dedekind soddisfano un gran numero di relazioni, di cui solo alcune compaiono in questa voce.

Definizione

Consideriamo una particolare funzione a denti di sega $\left(\left(\right)\right):\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ definita come segue

$((x))={\begin{cases}x-\lfloor x\rfloor -1/2,&{\mbox{if }}x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Z} ;\\0,&{\mbox{if }}x\in \mathbb {Z} .\end{cases}}$

Si tratta di una funzione avente come dominio l'insieme dei numeri reali $\mathbb {R}$ e come codominio $\left(-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right)$. È una funzione periodica dispari con periodo uguale a 1 ed è discontinua solo in corrispondenza dei valori interi del suo argomento.

Possiamo allora definire la funzione

$D:\mathbb {Z} ^{2}\times (\mathbb {Z} \setminus \{0\})\to \mathbb {R}$

ponendo

$D(a,b;c)=\sum _{n{\bmod {c}}}\left({\Bigg (}{\frac {an}{c}}{\Bigg )}\right)\left(\left({\frac {bn}{c}}\right)\right),$

dove le espressioni al secondo membro sono chiamate somme di Dedekind.

Un'importante riduzione della funzione si ha ponendo a=1; essa in genere viene denotata con

$s(b,c)=D(1,b;c).$

Proprietà elementari

Dalla definizione segue subito che D è simmetrica rispetto allo scambio dei primi due argomenti:

$D(a,b;c)=D(b,a;c),$

e che, per la disparità della (()),

D(−a,b;c) = −D(a,b;c),

D(a,b;−c) = D(a,b;c).

Chiaramente, la D è periodica in ciascuno dei suoi primi due argomenti, il terzo argomento essendo la lunghezza del periodo sia per a che per b:

D(a,b;c)=D(a+kc,b+lc;c), per tutti gli interi k,l.

Se d è un intero positivo, allora

D(ad,bd;cd) = dD(a,b;c),

D(ad,bd;c) = D(a,b;c), if (d,c) = 1,

D(ad,b;cd) = D(a,b;c), if (d,b) = 1.

L'ultima uguaglianza si può dimostrare servendosi della proprietà

$\sum _{n{\bmod {c}}}\left(\left({\frac {n+x}{c}}\right)\right)=\left(\left(x\right)\right),\qquad \forall x\in \mathbb {R} .$

Inoltre la az = 1 (mod c) implica D(a,b;c) = D(1,bz;c).

Caso particolare

Se b e c sono numeri coprimi, per la s(b,c) si ha l'espressione

$s(b,c)={\frac {-1}{c}}\sum _{\omega }{\frac {1}{(1-\omega ^{b})(1-\omega )}}+{\frac {1}{4}}-{\frac {1}{4c}},$

dove la somma riguarda le c-esime radici dell'unità diverse da 1, ossia l'insieme dei valori $\omega$ tali che $\omega ^{c}=1$ ma $\omega \not =1$.

If b, c > 0 sono coprimi, allora

$s(b,c)={\frac {1}{4c}}\sum _{n=1}^{c-1}\cot \left({\frac {\pi n}{c}}\right)\cot \left({\frac {\pi nb}{c}}\right).$

Legge di reciprocità

Se b e c sono interi positivi coprimi, allora

$s(b,c)+s(c,b)={\frac {1}{12}}\left({\frac {b}{c}}+{\frac {1}{bc}}+{\frac {c}{b}}\right)-{\frac {1}{4}}.$

Riscritta questa equazione nella forma

$12bc\left(s(b,c)+s(c,b)\right)=b^{2}+c^{2}-3bc+1,$

segue che il numero 6c s(b,c) è un intero.

Se k = (3, c), allora

$12bc\,s(c,b)=0\mod kc$

e

$12bc\,s(b,c)=b^{2}+1\mod kc.$

Segnaliamo una relazione di grande rilievo nella teoria della funzione eta di Dedekind. Sia q = 3, 5, 7 or 13 e sia n = 24/(q − 1). In tal caso dati interi a, b, c, d con ad − bc = 1 (e quindi appartenente al gruppo modulare), con c scelto in modo che sia c = kq per qualche intero k > 0, definiamo

$\delta =s(a,c)-{\frac {a+d}{12c}}-s(a,k)+{\frac {a+d}{12k}}$ .

Ne segue che nδ è un intero pari.

Generalizzazione di Rademacher della legge di reciprocità

Hans Rademacher ha trovato la seguente generalizzazione della legge di reciprocità per le somme di Dedekind. Se a,b e c sono interi positivi mutuamente coprimi, allora

$D(a,b;c)+D(b,c;a)+D(c,a;b)={\frac {1}{12}}{\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}}{abc}}-{\frac {1}{4}}.$

Bibliografia

• Tom M. Apostol, Modular functions and Dirichlet Series in Number Theory (1990), Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-97127-0 (capitolo 3)
• Matthias Beck e Sinai Robins, Dedekind sums: a discrete geometric viewpoint Archiviato il 18 maggio 2011 in Internet Archive., (2005 or earlier)
• Hans Rademacher e Emil Grosswald, Dedekind Sums, Carus Math. Monographs, 1972. ISBN 0-88385-016-8.