Spazio paracompatto

In topologia, una branca della matematica, uno spazio paracompatto è una leggera generalizzazione del concetto di spazio compatto, cioè di uno spazio i cui punti sono "vicini" tra loro.

Definizione

Uno spazio topologico $X$ è paracompatto se ogni ricoprimento aperto ${\mathcal {F}}$ di $X$ ammette un raffinamento localmente finito, cioè se esiste un ricoprimento aperto ${\mathcal {G}}$ di $X$ tale che:

• ogni $G\in {\mathcal {G}}$ è contenuto in un elemento di ${\mathcal {F}}$;
• ogni $x\in X$ ammette un intorno $U_{x}$ che interseca solo un numero finito di elementi di ${\mathcal {G}}$.

In alcuni casi viene aggiunta anche la richiesta che $X$ sia uno spazio di Hausdorff.

Esempi

• Ogni spazio compatto è paracompatto: infatti un sottoricoprimento è anche un raffinamento, e ogni sottoricoprimento finito è anche localmente finito.
• Gli aperti e i chiusi di $\mathbb {R} ^{n}$ sono paracompatti.
• Ogni varietà topologica è paracompatta.
• Più in generale, ogni spazio metrizzabile è paracompatto (teorema di Stone).
• L'insieme dei numeri reali con la topologia del limite inferiore (la retta di Sorgenfrey) è paracompatto.
• Ogni spazio di Lindelöf regolare è paracompatto.

Proprietà

• Ogni spazio paracompatto di Hausdorff è normale (teorema di Dieudonné).
• Ogni sottospazio chiuso di un paracompatto è paracompatto.
• Il prodotto topologico di uno spazio paracompatto e di uno spazio compatto è paracompatto, ma non lo è necessariamente il prodotto di due paracompatti: un famoso controesempio è dato dal prodotto della retta di Sorgenfrey con sé stessa (il piano di Sorgenfrey).
• L'essere uno spazio paracompatto è una condizione necessaria per l'esistenza delle partizioni dell'unità.

Bibliografia

• (EN) Ryszard Engelking, General topology, Berlino, Heldermann, 1989, ISBN 3-88538-006-4.
• Edoardo Sernesi, Geometria 2, Torino, Bollati Boringhieri, 1994, ISBN 978-88-339-5548-3.
• (EN) Ernest Arthur Michael, Paracompact Spaces, in Klaas Pieter Hart, Jun-iti Nagata e Jerry E. Vaughan (a cura di), Encyclopedia of General Topology, Elsevier, 2003, ISBN 978-0-444-50355-8.

Voci correlate

• Partizione dell'unità
• Spazio compatto

Collegamenti esterni

• (EN) paracompactness, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Spazio paracompatto, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) A.V. Arkhangel'skii, Paracompact space, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.

Controllo di autorità	GND (DE) 4694611-1