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Dimostrazione originale del teorema di completezza di Gödel: differenze tra le versioni

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Per il caso base, <math> D_1 = \exists z_1 \dots \exists z_{m+1} \phi[z_{a^1_1}, \dots, z_{a^1_k}, z_2, z_3, \dots, z_{m+1}] \equiv \exists z_1 \dots \exists z_{m+1} \phi[z_1, \dots, z_1, z_2, z_3, \dots, z_{m+1}] </math> è ovviamente un corollario di <math>\phi</math>. Quindi il '''Lemma''' è dimostrato.
 
Ora, se <math> D_n </math> è refutabile per qualche <math>n \ge 1</math>, segue che <math>\phi</math> è refutabile. D'altra parte, supponiamo che, per ogni <math>n \ge 1</math>, <math> D_n </math> sia non refutabile. Allora, per ogni <math>n \ge 1</math>, esistonodevono esistere dei termini <math>t_1, \dots, t_{nm+1} </math> tali per cui la formula <math>D'_n := (B_1 \land \dots \land B_n)[z_1, \dots, z_{nm+1} / t_1, \dots, t_{nm+1}] </math> non è refutabilederivabile da <math>\phi</math>. Quest'affermazioneSe devecosì esserenon unafosse, conseguenzail direttasistema dellededuttivo regolenon dipotrebbe deduzione,derivare altrimenti<math> ilD_n sistema</math> nonda potrebbe<math>\phi</math>. garantireQuindi, laanche sua<math>D_n'</math> completezzanon è refutabile.
 
Dunque, per ogni <math>n \ge 1</math>, esiste un'assegnazione di verità ai distinti sottoenunciati <math>E_h</math> (ordinati secondo la loro prima occorrenza in <math>D_n'</math>; "distinto" qui è inteso in senso sintattico, ovvero sia predicati distinti, sia variabili vincolate distinte) nei <math> B_i </math>, che rende vero <math>D_n'</math>. Ciò deriva dalla completezza della [[logica proposizionale]] sottostante.
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