Spirali sinusoidali

In geometria, le spirali sinusoidali sono una famiglia di curve definite dalla seguente equazione in coordinate polari

Confronto tra spirali sinusoidali: iperbole equilatera (n = -2), retta (n = -1), parabola (n = -1/2), cardioide (n = 1/2), cerchio (n = 1) e lemniscata di Bernoulli (n = 2)

$r^{n}=a^{n}\cos(n\theta )\,$

dove a è una costante diversa da zero e n è un numero razionale anch'esso diverso da 0. Con una rotazione di un angolo retto sull'origine, l'equazione può essere scritta

$r^{n}=a^{n}\sin(n\theta ).\,$

Il termine "spirale" è un termine improprio, perché in realtà non sono spirali in senso stretto, e spesso hanno una forma simile a un fiore. Molte curve molto note sono spirali sinusoidali tra cui ricordiamo:

• Iperbole rettangolare (n = − 2)
• Retta (n = − 1)
• Parabola (n = − 1/2)
• Cubo di Tschirnhausen (n = − 1/3)
• Curva sestica di Cayley (n = 1/3)
• Cardioide (n = 1/2)
• Cerchio (n = 1)
• Lemniscate di Bernoulli (n = 2)

Queste curve sono state studiate per la prima volta da Colin Maclaurin.

Equazioni

Differenziando

$r^{n}=a^{n}\cos(n\theta )\,$

ed eliminando a si ottiene un'equazione differenziale per r e θ :

${\frac {dr}{d\theta }}\cos n\theta +r\sin n\theta =0$.

Allora

$\left({\frac {dr}{ds}},\ r{\frac {d\theta }{ds}}\right)\cos n\theta {\frac {ds}{d\theta }}=\left(-r\sin n\theta ,\ r\cos n\theta \right)=r\left(-\sin n\theta ,\ \cos n\theta \right)$

il che implica che l' angolo tangenziale polare è

$\psi =n\theta \pm \pi /2$

e così l'angolo tangenziale è

$\varphi =(n+1)\theta \pm \pi /2$.

(Il segno qui è positivo se r e cos (nθ) hanno lo stesso segno e negativo nel caso opposto.)

Il vettore tangente unitario,

$\left({\frac {dr}{ds}},\ r{\frac {d\theta }{ds}}\right)$,

che ha lunghezza unitaria, e confrontando la grandezza dei vettori su ciascun lato dell'equazione precedente si ottiene

${\frac {ds}{d\theta }}=r\cos ^{-1}n\theta =a\cos ^{-1+{\tfrac {1}{n}}}n\theta$.

In particolare, la lunghezza di un singolo ciclo quando $n>0$ è:

$a\int _{-{\tfrac {\pi }{2n}}}^{\tfrac {\pi }{2n}}\cos ^{-1+{\tfrac {1}{n}}}n\theta \ d\theta$

La curvatura è data da

${\frac {d\varphi }{ds}}=(n+1){\frac {d\theta }{ds}}={\frac {n+1}{a}}\cos ^{1-{\tfrac {1}{n}}}n\theta$.

Proprietà

La curva inversa di una spirale sinusoidale rispetto ad un cerchio con centro all'origine è ancora una spirale sinusoidale. Il valore di n della curva inversa è il negativo del valore di n della curva originale. Ad esempio, l'inverso della lemniscata di Bernoulli è un'iperbole rettangolare.

L'isottica, il pedale e il pedale negativo di una spirale sinusoidale sono altri esempi di spirali sinusoidali.

In percorso di una particella che si muove secondo una forza centripeta proporzionale a una potenza di r percorre una spirale sinusoidale.

Quando n è un numero intero e gli n punti sono disposti regolarmente su una circonferenza di raggio a, allora, l'insieme di punti la cui media geometrica delle distanze dal punto stesso agli n punti e' costante, è una spirale sinusoidale . In questo caso la spirale sinusoidale è una lemniscata polinomiale.

Bibliografia

• Yates, RC: A Handbook on Curves and Their Properties, JW Edwards (1952), "Spiral" p. 213 – 214
• Weisstein, Eric W. "Sinusoidal Spiral". MathWorld.

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Collegamenti esterni

• "Spirale sinusoidale" su www.2dcurves.com
• "Spirali sinusoidali" presso The MacTutor History of Mathematics