Successione di interi frattale
Una successione di interi è detta frattale se cancellando la prima occorrenza di ogni numero si ottiene di nuovo la sequenza iniziale.
Consideriamo per esempio la successione:
1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, 5, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 1, 2,...[1]
Essa è formata elencando i numeri naturali, fermandosi ad ogni nuovo valore inserito e ripartendo dall'inizio:
- 1
- 1, 2
- 1, 2, 3
- 1, 2, 3, 4
- ...
Applicando la definizione si ha (in corsivo i numeri cancellati):
1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, 5, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 1, 2,...
Particolari tipi di successioni frattali modifica
La successione frattale in esempio è anche incrementale, ossia, se si togliessero tutti gli 1 si otterrebbe la stessa successione aumentata di 1.
Si dice trasformazione ordinale di una successione di interi a(n) un'altra successione b(n) i cui termini b(k) rappresentano il numero dei valori uguali ad a(k) nell'insieme {a(1), ..., a(n)} compreso. Riprendendo come esempio la successione iniziale ed operando la trasformazione ordinale si ottiene:
1, 2, 1, 3, 2, 1, 4, 3, 2, 1, 5, 4, 3, 2, 1, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 11, 10...
Si può dimostrare che una successione di interi è frattale se la sua trasformata ordinale è un frattale incrementale.[senza fonte]
Togliendo tutti gli 1 dall'ultima successione si ottiene:
2, 3, 2, 4, 3, 2, 5, 4, 3, 2, 6, 5, 4, 3, 2, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 11, 10,...
questa è la successione di partenza incrementata di 1. Quindi la trasformata ordinale è frattale incrementale e perciò la sequenza iniziale è frattale.
Sono dette frattali doppie le successioni che sono sia frattali che frattali incrementali. Un altro esempio di successione frattale doppia:
1, 2, 1, 3, 2, 1, 4, 3, 2, 1, 5, 4, 3, 2, 1, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 11, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 12, 11, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, ...[2]
Note modifica
- ^ (EN) Sequenza A002260, su On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, The OEIS Foundation.
- ^ (EN) Sequenza A004736, su On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, The OEIS Foundation.
Bibliografia modifica
- Giorgio Balzarotti, Paolo P. Lava, 103 curiosità matematiche, 1ª ed., Milano, Hoepli, 2010, ISBN 978-88-203-4556-3.
- (EN) Clark Kimberling, Numeration systems and fractal sequences, Acta Arithmetica 73, 1995.
- (EN) Clark Kimberling, Harris S. Shultz, Card sorting by dispersions and fractal sequences, Ars Combinatoria 53, 1999.
