Superpotenziale di Komar

In relatività generale, si definisce superpotenziale di Komar, relativo alla lagrangiana invariante di Einstein-Hilbert ${\mathcal {L}}_{\mathrm {G} }={1 \over 2\kappa }R{\sqrt {-g}}\,\mathrm {d} ^{4}x$, la densità tensoriale espressa dall'equazione:

$U^{\alpha \beta }({{\mathcal {L}}_{\mathrm {G} }},\xi )={{\sqrt {-g}} \over {\kappa }}\nabla ^{[\beta }\xi ^{\alpha ]}={{\sqrt {-g}} \over {2\kappa }}(g^{\beta \sigma }\nabla _{\sigma }\xi ^{\alpha }-g^{\alpha \sigma }\nabla _{\sigma }\xi ^{\beta })\,,$

per ogni campo vettoriale $\xi =\xi ^{\rho }\partial _{\rho }$, e dove il simbolo $\nabla _{\sigma }$ indica la derivata covariante rispetto alla connessione di Levi Civita.

La 2-forma di Komar:

${\mathcal {U}}({{\mathcal {L}}_{\mathrm {G} }},\xi )={1 \over 2}U^{\alpha \beta }({{\mathcal {L}}_{\mathrm {G} }},\xi )\mathrm {d} x_{\alpha \beta }={1 \over {2\kappa }}\nabla ^{[\beta }\xi ^{\alpha ]}{\sqrt {-g}}\,\mathrm {d} x_{\alpha \beta }\,,$

dove con $\mathrm {d} x_{\alpha \beta }=\iota _{\partial {\alpha }}\mathrm {d} x_{\beta }=\iota _{\partial {\alpha }}\iota _{\partial {\beta }}\mathrm {d} ^{4}x$ si denota il prodotto interno tra un vettore e una forma differenziale, fu originariamente definita solo nel caso in cui il campo vettoriale $\xi$ è un campo vettoriale di Killing di tipo tempo.

Il superpotenziale di Komar è affetto dal problema del fattore anomalo: se lo si utilizza calcolandolo, per esempio, nel caso della metrica di Kerr-Newman, esso fornisce il valore corretto del momento angolare, ma solo la metà della massa prevista.

Bibliografia

• (EN) Charles W. Misner, Kip. S. Thorne e John A. Wheeler, Gravitation, W. H. Freeman, 1973, ISBN 978-0-7167-0344-0.
• (EN) J.L. Synge e A. Schild, Tensor Calculus, first Dover Publications 1978 edition, 1949, ISBN 978-0-486-63612-2.
• (EN) J.R. Tyldesley, An introduction to Tensor Analysis: For Engineers and Applied Scientists, Longman, 1975, ISBN 0-582-44355-5.

Voci correlate

• Azione di Einstein-Hilbert
• Derivata covariante