Teorema del coseno

In geometria, il teorema del coseno esprime la relazione tra la lunghezza dei lati di un triangolo e il coseno di uno dei suoi angoli. Può essere considerato una generalizzazione del teorema di Pitagora al caso di triangoli non rettangoli. Questo teorema, dimostrato già dal persiano Al-Kashi, è noto anche, specialmente in Francia, come teorema di Al-Kashi o anche, specialmente in Italia, come teorema di Carnot, dal nome del matematico francese Lazare Carnot, anche se in realtà il teorema è stato reso popolare dal francese François Viète.

Il teorema modifica

Con riferimento alla figura a lato, si desidera trovare la lunghezza di un lato di un qualsiasi triangolo, essendo note le lunghezze degli altri due lati e l'ampiezza dell'angolo tra essi compreso. Si ha:

{\overline {AB}}^{2}={\overline {AC}}^{2}+{\overline {BC}}^{2}-2\cdot {\overline {AC}}\cdot {\overline {BC}}\cos \gamma .

Dimostrazione con il teorema di Pitagora modifica

Applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo $AHB,$ si ha:

{\overline {AB}}^{2}={\overline {AH}}^{2}+{\overline {BH}}^{2},

dove ${\overline {AB}}$ indica la lunghezza del segmento $AB.$ Risolvendo il triangolo rettangolo $AHC$ si ha anche:

{\overline {AH}}={\overline {AC}}\sin \gamma .

Vale inoltre

{\overline {BH}}={\overline {BC}}-{\overline {HC}}={\overline {BC}}-{\overline {AC}}\cos \gamma .

Sostituendo nella prima uguaglianza si ottiene:

{\overline {AB}}^{2}={\overline {AC}}^{2}\sin ^{2}\gamma +{\overline {BC}}^{2}+{\overline {AC}}^{2}\cos ^{2}\gamma -2{\overline {BC}}\cdot {\overline {AC}}\cos \gamma .

Per la relazione fondamentale $\sin ^{2}\gamma +\cos ^{2}\gamma =1,$ questa equazione può essere semplificata in:

{\overline {AB}}^{2}={\overline {AC}}^{2}+{\overline {BC}}^{2}-2{\overline {BC}}\cdot {\overline {AC}}\cos \gamma .

Nel caso di un triangolo rettangolo, ossia con $\gamma =\pi /2,$ il terzo addendo del secondo membro è nullo e si ricade nel teorema di Pitagora, mentre se il triangolo è ottusangolo ( $\gamma >\pi /2$ ) la dimostrazione procede allo stesso modo, con la differenza che in questo caso:

{\overline {HC}}={\overline {AC}}\cos(\pi -\gamma )=-{\overline {AC}}\cos \gamma

e quindi si trova nuovamente

{\overline {BH}}={\overline {BC}}+{\overline {HC}}={\overline {BC}}-{\overline {AC}}\cos \gamma .

Dimostrazione con vettori modifica

Si considerino i vettori:

{\vec {a}}={\vec {AC}};

{\vec {b}}={\vec {BC}};

{\vec {c}}={\vec {AB}}.

Si può quindi scrivere che:

{\vec {c}}={\vec {a}}-{\vec {b}}.

Calcolando il modulo al quadrato di ambo i membri si ottiene:

|{\vec {c}}|^{2}=|{\vec {a}}-{\vec {b}}|^{2}=({\vec {a}}-{\vec {b}})\cdot ({\vec {a}}-{\vec {b}}),

|{\vec {c}}|^{\,2}=|{\vec {a}}|^{\,2}+|{\vec {b}}|^{\,2}-2{\vec {a}}\cdot {\vec {b}},

dove ${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}$ è il prodotto scalare tra ${\vec {a}}$ e ${\vec {b}}$ . Usando infine il fatto che ${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cos(\gamma )$ si ricava