Una funzione differenziabile in un punto è una funzione che può essere approssimata, a meno di un resto infinitesimo, da una trasformazione lineare in un intorno abbastanza piccolo di quel punto; condizione sufficiente affinché la funzione possegga tale proprietà è che tutte le derivate parziali siano continue in tale punto ed esistano in un intorno di esso (non devono essere necessariamente continue nell'intorno del punto).
Dimostrazione per n=2
modifica
Per la definizione di differenziabilità, si deve mostrare che:
lim
(
x
−
x
0
)
2
+
(
y
−
y
0
)
2
→
0
f
(
x
,
y
)
−
f
(
x
0
,
y
0
)
−
∂
f
(
x
0
,
y
0
)
∂
x
(
x
−
x
0
)
−
∂
f
(
x
0
,
y
0
)
∂
y
(
y
−
y
0
)
(
x
−
x
0
)
2
+
(
y
−
y
0
)
2
=
0.
{\displaystyle \lim _{{\sqrt {(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}}\to 0}{\frac {f(x,y)-f(x_{0},y_{0})-{\frac {\partial f(x_{0},y_{0})}{\partial x}}(x-x_{0})-{\frac {\partial f(x_{0},y_{0})}{\partial y}}(y-y_{0})}{\sqrt {(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}}}=0.}
Iniziamo valutando la differenza
f
(
x
,
y
)
−
f
(
x
0
,
y
0
)
.
{\displaystyle f(x,y)-f(x_{0},y_{0}).}
f
(
x
,
y
0
)
{\displaystyle f(x,y_{0})}
f
(
x
,
y
)
−
f
(
x
,
y
0
)
+
f
(
x
,
y
0
)
−
f
(
x
0
,
y
0
)
.
{\displaystyle f(x,y)-f(x,y_{0})+f(x,y_{0})-f(x_{0},y_{0}).}
Per il teorema di Lagrange esistono due numeri
ξ
{\displaystyle \xi }
η
{\displaystyle \eta }
x
0
<
ξ
<
x
{\displaystyle x_{0}<\xi <x}
y
0
<
η
<
y
{\displaystyle y_{0}<\eta <y}
f
(
x
,
y
0
)
−
f
(
x
0
,
y
0
)
=
f
x
(
ξ
,
y
0
)
(
x
−
x
0
)
{\displaystyle f(x,y_{0})-f(x_{0},y_{0})=f_{x}(\xi ,y_{0})(x-x_{0})}
f
(
x
,
y
)
−
f
(
x
,
y
0
)
=
f
y
(
x
,
η
)
(
y
−
y
0
)
.
{\displaystyle f(x,y)-f(x,y_{0})=f_{y}(x,\eta )(y-y_{0}).}
Sommando membro a membro e riconsiderando la differenza valutata in partenza si ottiene[1]
f
(
x
,
y
)
−
f
(
x
0
,
y
0
)
=
f
x
(
ξ
,
y
0
)
(
x
−
x
0
)
+
f
y
(
x
,
η
)
(
y
−
y
0
)
,
{\displaystyle f(x,y)-f(x_{0},y_{0})=f_{x}(\xi ,y_{0})(x-x_{0})+f_{y}(x,\eta )(y-y_{0}),}
f
(
x
,
y
)
−
f
(
x
0
,
y
0
)
−
f
x
(
x
0
,
y
0
)
(
x
−
x
0
)
−
f
y
(
x
0
,
y
0
)
(
y
−
y
0
)
(
x
−
x
0
)
2
+
(
y
−
y
0
)
2
=
f
x
(
ξ
,
y
0
)
(
x
−
x
0
)
+
f
y
(
x
,
η
)
(
y
−
y
0
)
−
f
x
(
x
0
,
y
0
)
(
x
−
x
0
)
−
f
y
(
x
0
,
y
0
)
(
y
−
y
0
)
(
x
−
x
0
)
2
+
(
y
−
y
0
)
2
.
{\displaystyle {\frac {f(x,y)-f(x_{0},y_{0})-f_{x}(x_{0},y_{0})(x-x_{0})-f_{y}(x_{0},y_{0})(y-y_{0})}{\sqrt {(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}}}={\frac {f_{x}(\xi ,y_{0})(x-x_{0})+f_{y}(x,\eta )(y-y_{0})-f_{x}(x_{0},y_{0})(x-x_{0})-f_{y}(x_{0},y_{0})(y-y_{0})}{\sqrt {(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}}}.}
Il secondo membro a sua volta può essere scritto come[1]
(
x
−
x
0
)
[
f
x
(
ξ
,
y
0
)
−
f
x
(
x
0
,
y
0
)
]
+
(
y
−
y
0
)
[
f
y
(
x
,
η
)
−
f
y
(
x
0
,
y
0
)
]
(
x
−
x
0
)
2
+
(
y
−
y
0
)
2
.
{\displaystyle {\frac {(x-x_{0})[f_{x}(\xi ,y_{0})-f_{x}(x_{0},y_{0})]+(y-y_{0})[f_{y}(x,\eta )-f_{y}(x_{0},y_{0})]}{\sqrt {(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}}}.}
Le quantità
(
x
−
x
0
)
(
x
−
x
0
)
2
+
(
y
−
y
0
)
2
{\displaystyle {\frac {(x-x_{0})}{\sqrt {(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}}}}
(
y
−
y
0
)
(
x
−
x
0
)
2
+
(
y
−
y
0
)
2
{\displaystyle {\frac {(y-y_{0})}{\sqrt {(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}}}}
|
x
−
x
0
|
|
|
x
−
x
0
,
y
−
y
0
|
|
≤
|
|
x
−
x
0
,
y
−
y
0
|
|
|
|
x
−
x
0
,
y
−
y
0
|
|
=
1
,
{\displaystyle {\frac {|x-x_{0}|}{||x-x_{0},y-y_{0}||}}\leq {\frac {||x-x_{0},y-y_{0}||}{||x-x_{0},y-y_{0}||}}=1,}
e analogamente
|
y
−
y
0
|
|
|
x
−
x
0
,
y
−
y
0
|
|
≤
|
|
x
−
x
0
,
y
−
y
0
|
|
|
|
x
−
x
0
,
y
−
y
0
|
|
=
1.
{\displaystyle {\frac {|y-y_{0}|}{||x-x_{0},y-y_{0}||}}\leq {\frac {||x-x_{0},y-y_{0}||}{||x-x_{0},y-y_{0}||}}=1.}
Inoltre quando
x
→
x
0
{\displaystyle x\to x_{0}}
y
→
y
0
{\displaystyle y\to y_{0}}
ξ
→
x
0
{\displaystyle \xi \to x_{0}}
η
→
y
0
{\displaystyle \eta \to y_{0}}
|
f
x
(
ξ
,
y
0
)
−
f
x
(
x
0
,
y
0
)
|
→
0
{\displaystyle |f_{x}(\xi ,y_{0})-f_{x}(x_{0},y_{0})|\to 0}
|
f
y
(
x
,
η
)
−
f
y
(
x
0
,
y
0
)
|
→
0
,
{\displaystyle |f_{y}(x,\eta )-f_{y}(x_{0},y_{0})|\to 0,}
![{\displaystyle {\frac {(x-x_{0})[f_{x}(\xi ,y_{0})-f_{x}(x_{0},y_{0})]+(y-y_{0})[f_{y}(x,\eta )-f_{y}(x_{0},y_{0})]}{\sqrt {(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7ffe3c826dba43702cbf9f02e954108965541fd)
Wikibooks contiene testi o manuali su Teorema del differenziale totale
