Teorema delle tangenti e delle secanti

Il teorema delle tangenti e delle secanti è un teorema della geometria euclidea che descrive il rapporto tra il segmento tangente a una circonferenza e i segmenti intersecati dalla circonferenza su una secante.

Tale teorema è essenziale per la costruzione, con riga e compasso, della sezione aurea di un segmento.

Enunciato modifica

Se da un punto esterno di una circonferenza si conduce una tangente ed una secante il segmento di tangenza è medio proporzionale tra l'intera secante e la sua parte esterna.^[1]

Enunciato del teorema delle tangenti e delle secanti così come è stato scritto da Euclide nel terzo libro degli Elementi.^[2]^[3]

“Se un punto è preso all'esterno di una circonferenza e dal quel punto escono due linee rette e se una di esse interseca la circonferenza e l'altra è tangente, il rettangolo formato da tutto il segmento che taglia la circonferenza e il segmento intercettato su di essa all'esterno tra il punto e la circonferenza è uguale al quadrato sulla tangente.”

Ipotesi modifica

Sia $A$ un punto esterno alla circonferenza $BDE$ .
Sia $AB$ tangente alla circonferenza.
Sia $AD$ secante alla circonferenza in $D$ ed $E$ .

Si consideri la figura così come descritta dall'enunciato:

Tesi modifica

Il segmento $AB$ è medio proporzionale tra $AD$ e $AE$ ; vale a dire $AD:AB=AB:AE$ .

Dimostrazione modifica

Per il primo criterio di similitudine dei triangoli (due triangoli sono simili se hanno due angoli congruenti corrispondenti) i triangoli $ABD$ e $ABE$ sono simili.

Infatti hanno l'angolo in $A$ in comune e l'angolo $ABE$ congruente all'angolo $ADB$ , perché angoli che insistono sullo stesso arco $EB$ .

Ne consegue $AD:AB=AB:AE$ . (c.v.d.)

Corollario modifica

Se si modifica la figura precedente come indicato sotto:

con $AB$ perpendicolare a $BB'$ , $C$ centro della circonferenza, $AB=BB'=ED$ , si ottiene il disegno per la costruzione geometrica della sezione aurea con riga e compasso.

Note modifica

^ Fabio Gervasi, Proprietà relative alla circonferenza, ai suoi angoli, alle sue tangenti e alle sue secanti (PDF), su www.brigantaggio.net. URL consultato il 21 febbraio 2023.
^ Tangent Secant Theorem - ProofWiki
^ Converse of Tangent Secant Theorem - ProofWiki

Collegamenti esterni modifica

(EN) Terzo libro degli elementi, su proofwiki.org. URL consultato il 4 maggio 2019 (archiviato dall'url originale il 10 aprile 2014).

[1] Fabio Gervasi, Proprietà relative alla circonferenza, ai suoi angoli, alle sue tangenti e alle sue secanti (PDF), su www.brigantaggio.net. URL consultato il 21 febbraio 2023.

[2] Tangent Secant Theorem - ProofWiki

[3] Converse of Tangent Secant Theorem - ProofWiki

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