Teorema di esistenza del limite di successioni monotone
Il teorema di esistenza del limite di successioni monotone è un teorema di analisi matematica che asserisce che ogni successione monotona di numeri reali ha un limite.
Enunciato modifica
Il teorema afferma che una successione monotona di numeri reali converge sempre ad un limite ; più precisamente, il limite di una successione crescente è il suo estremo superiore, mentre il limite di una successione decrescente è il suo estremo inferiore.
Tale limite è finito se e solo se è limitata.
Esempi modifica
La successione :
è monotona decrescente e costituita da componenti positive e converge al limite:
La successione :
è invece monotona crescente e non limitata, perciò diverge a infinito:
Dimostrazione modifica
Supponiamo la successione sia monotona crescente.
Se la successione è illimitata, allora per ogni esiste un tale che ; di conseguenza, per la monotonia, per ogni . Per definizione, allora, il limite di è infinito.
Se la successione è limitata, sia il suo estremo superiore. Per definizione di estremo superiore, per ogni esiste un tale che ; di conseguenza, per ogni . Per definizione di limite, è il limite di .
Nel caso in cui sia monotona decrescente si può procedere allo stesso modo, oppure applicare il caso delle successioni crescenti alla successione e poi applicare le proprietà dei limiti.
Bibliografia modifica
- Enrico Giusti, Analisi matematica 1, terza edizione, Bollati Boringhieri, 2002, ISBN 88-339-5684-9.