Teoria degli insiemi di Tarski-Grothendieck

La teoria degli insiemi di Tarski-Grothendieck (TG) è una teoria assiomatica degli insiemi così chiamata in riferimento ai matematici Alfred Tarski e Alexander Grothendieck. Essa è caratterizzata dall'Assioma di Tarski ed è un'estensione non-conservativa della teoria degli insiemi di Zermelo - Fraenkel.

Assiomi modifica

I primi assiomi di TG sono uguali alle loro controparti di ZF:

I quantificatori logici spaziano solo su insiemi; Qualsiasi cosa è un insieme (la stessa ontologia di ZFC).
Assioma di estensionalità: Due insiemi sono identici se e solo se hanno gli stessi elementi.
Assioma dell'insieme vuoto: Esiste un insieme di cui nessun altro insieme è elemento.
Assioma di regolarità: Nessun insieme è elemento di se stesso e catene circolari di appartenenza non sono possibili.
Assioma di rimpiazzamento: L'immagine di una funzione è un insieme.

Come già detto l'assioma caratterizzante della teoria è il seguente: Assioma di Tarski (adattato da Tarski 1939^[1]): Per ogni insieme $x$ esiste un insieme ${\mathcal {U}}$ tale che

$x\in {\mathcal {U}}$ .
Per ogni $y\in {\mathcal {U}}$ ogni sottoinsieme di $y$ è un elemento di ${\mathcal {U}}$ .
Per ogni $y\in {\mathcal {U}}$ l'insieme della parti di $y$ è un elemento di ${\mathcal {U}}$ .
Ogni sottoinsieme di ${\mathcal {U}}$ la cui cardinalità è inferiore di quella di ${\mathcal {U}}$ è un elemento di ${\mathcal {U}}$ .

Quest'ultimo implica l'assioma della coppia, l'assioma dell'insieme potenza, l'assioma dell'unione, assioma dell'infinito e l'assioma della scelta^[2]^[3]; dunque rende TG molto più forte di ZFC.

Note modifica

^ Tarski (1939)
^ Tarski (1938)
^ WELLORD2: Zermelo Theorem and Axiom of Choice. The correspondence of well ordering relations and ordinal numbers

Bibliografia modifica

Blass, Andreas, Dimitriou, I. M., and Löwe, Benedikt (2007) "Inaccessible Cardinals without the Axiom of Choice," Fundamenta Mathematicae 194: 179-89.
(FR) Nicolas Bourbaki, Univers, in Michael Artin, Alexandre Grothendieck, Jean-Louis Verdier, eds. (a cura di), Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie – 1963-64 – Théorie des topos et cohomologie étale des schémas – (SGA 4) – vol. 1 (Lecture notes in mathematics 269), Berlin; New York, Springer-Verlag, 1972, pp. 185–217. URL consultato il 24 gennaio 2012 (archiviato dall'url originale il 26 agosto 2003).
Patrick Suppes (1960) Axiomatic Set Theory. Van Nostrand. Dover reprint, 1972.
Alfred Tarski, Über unerreichbare Kardinalzahlen (PDF), in Fundamenta Mathematicae, vol. 30, 1938, pp. 68–89.
Alfred Tarski, On the well-ordered subsets of any set (PDF), in Fundamenta Mathematicae, vol. 32, 1939, pp. 176–183.

Collegamenti esterni modifica

Trybulec, Andrzej, 1989, "Tarski–Grothendieck Set Theory", Journal of Formalized Mathematics.
Metamath: "Proof Explorer Home Page." Scroll down to "Grothendieck's Axiom."
PlanetMath: "Tarski's Axiom"

[1] Tarski (1939)

[2] Tarski (1938)

[3] WELLORD2: Zermelo Theorem and Axiom of Choice. The correspondence of well ordering relations and ordinal numbers

[1]

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