In matematica, in particolare in topologia generale, la topologia finale o topologia forte su un insieme rispetto ad una famiglia di funzioni è la topologia più fine tale per cui le funzioni della famiglia sono continue.[1]

La struttura duale alla topologia finale è detta topologia iniziale.

Definizione modifica

Dato un insieme   e una famiglia di spazi topologici   in cui sono definite le funzioni  , la topologia finale   su   è la topologia più fine tale per cui ogni funzione:

 

è continua.

Esplicitamente, nella topologia finale un insieme   è aperto se e solo se   è aperto in   per ogni indice  .

Proprietà modifica

 
Characteristic property of the final topology

Un sottoinsieme di   è aperto o chiuso se e solo se la preimmagine relativa a   è rispettivamente aperta o chiusa in   per ogni indice  .

La topologia finale su   può essere caratterizzata dalla seguente proprietà: una funzione   è continua se e solo se   è continua per ogni indice  . Dalle proprietà della topologia naturale definita sull'unione disgiunta degli insiemi di una famiglia di spazi topologici segue che, data una qualsiasi famiglia di funzioni continue  , esiste un'unica funzione continua:

 

Se la famiglia di funzioni   ricopre   (ovvero ogni   è nell'immagine di qualche  ) allora   è una mappa quoziente se e solo se   possiede la topologia finale determinata dalle mappe  .

Note modifica

  1. ^ Reed, Simon, Pag. 111.

Bibliografia modifica

  • (EN) Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2ª ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0125850506.
  • (EN) Stephen Willard, General Topology, Reading, Massachusetts, Addison-Wesley, 1970, ISBN 0-486-43479-6 (Dover edition).

Voci correlate modifica

Collegamenti esterni modifica

  Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica