Trasformata di Hankel

In matematica, la trasformata di Hankel è una trasformata integrale, per la prima volta sviluppata dal matematico Hermann Hankel, che esprime una data funzione $f(r)$ come una somma pesata di un numero infinito di funzioni di Bessel del primo tipo $J_{\nu }(kr)$. È anche conosciuta come la trasformata di Fourier–Bessel. Le funzioni di Bessel del nucleo integrale sono tutte dello stesso ordine $\nu$, ma differiscono nel fattore di scala $k$ lungo l'asse $r$. Il coefficiente $F_{\nu }$ di ogni funzione di Bessel, visto come una funzione del fattore di scala $k$, costituisce la trasformata di Hankel. La trasformata di Hankel è strettamente collegata con la serie di Fourier-Bessel, nello stesso modo in cui la trasformata di Fourier per un intervallo infinito è in relazione con la serie di Fourier su un intervallo finito.

Definizione

La trasformata di Hankel di ordine $\nu$ di una funzione $f(r)$ è data da

$F_{\nu }(k)=\int _{0}^{\infty }f(r)J_{\nu }(kr)\,r\,\mathrm {d} r,$

dove $J_{\nu }$ è la funzione di Bessel del primo tipo di ordine $\nu$, con $\nu \geq -1/2$. La trasformata di Hankel inversa di $F_{\nu }(k)$ è definita come

$f(r)=\int _{0}^{\infty }F_{\nu }(k)J_{\nu }(kr)\,k\,\mathrm {d} k,$

che può essere verificata sfruttando la relazione di ortogonalità fra le funzioni di Bessel.

Dominio di definizione

L'inversione della trasformata di Hankel di una funzione $f(r)$ è valida in tutti i punti in cui $f(r)$ è continua, a patto che sia definita e continua a tratti in $(0,\infty )$, a variazione limitata in ogni sottointervallo finito di $(0,\infty )$ e

$\int _{0}^{\infty }|f(r)|\,r^{\frac {1}{2}}\,\mathrm {d} r<\infty .$

Tuttavia, in analogia con la trasformata di Fourier, si può estendere il dominio tramite un ragionamento sulla densità, includendo alcune funzioni per cui l'integrale precedente non è finito, come $f(r)=(1+r)^{-3/2}$.

Definizione alternativa

Una definizione alternativa afferma che la trasformata di Hankel di $g(r)$ è

$h_{\nu }(k)=\int _{0}^{\infty }g(r)J_{\nu }(kr)\,{\sqrt {kr}}\,\mathrm {d} r.$

Le due definizioni sono collegate:

Se $g(r)=f(r){\sqrt {r}}$, allora $h_{\nu }(k)=F_{\nu }(k){\sqrt {k}}.$

Questo significa che, come per la precedente definizione, la trasformata di Hankel definita in questo modo è la sua stessa inversa:

$g(r)=\int _{0}^{\infty }h_{\nu }(k)J_{\nu }(kr)\,{\sqrt {kr}}\,\mathrm {d} k.$

Il dominio ora ha la condizione

$\int _{0}^{\infty }|g(r)|\,\mathrm {d} r<\infty ,$

ma può essere esteso. Secondo de Branges, si può prendere l'integrale come il limite con l'estremo superiore che tende all'infinito (un integrale improprio invece di un integrale di Lebesgue), e in questo modo la trasformata di Hankel e la sua inversa sono definite per ogni funzione in L²(0, ∞).

Ortogonalità

Le funzioni di Bessel formano una base ortogonale se pesate con la funzione $r$:

$\int _{0}^{\infty }J_{\nu }(kr)J_{\nu }(k'r)\,r\,\mathrm {d} r={\frac {\delta (k-k')}{k}},\quad k,k'>0.$

Il teorema di Plancherel e di Parseval

Se le funzioni $f(r)$ e $g(r)$ possiedono trasformate di Hankel $F_{\nu }(k)$ e $G_{\nu }(k)$ ben definite, allora il teorema di Plancherel afferma che

$\int _{0}^{\infty }f(r)g(r)\,r\,\mathrm {d} r=\int _{0}^{\infty }F_{\nu }(k)G_{\nu }(k)\,k\,\mathrm {d} k.$

Il teorema di Parseval, che afferma

$\int _{0}^{\infty }|f(r)|^{2}\,r\,\mathrm {d} r=\int _{0}^{\infty }|F_{\nu }(k)|^{2}\,k\,\mathrm {d} k,$

è un caso speciale del teorema di Plancherel. Questi teoremi si possono dimostrare utilizzando la proprietà di ortogonalità.

Relazioni con altre trasformate

Relazione con la trasformata di Fourier (simmetria circolare)

La trasformata di Hankel di ordine zero è essenzialmente la trasformata di Fourier in 2 dimensioni di una funzione a simmetria circolare.

Si consideri una funzione bidimensionale $f(\mathbf {r} )$ del raggio vettore $r$. La sua trasformata di Fourier è

$F(\mathbf {k} )={\frac {1}{2\pi }}\iint f(\mathbf {r} )e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\,\mathrm {d} \mathbf {r} .$

Senza perdita di generalità, si può scegliere un sistema di coordinate polari $(r,\theta )$ in modo che il vettore $\mathbf {k}$ giaccia sull'asse $\theta =0$ (nel K-spazio). La trasformata di Fourier si scrive ora in queste coordinate come

$F(\mathbf {k} )={\frac {1}{2\pi }}\int _{r=0}^{\infty }\int _{\theta =0}^{2\pi }f(r,\theta )e^{-ikr\cos(\theta )}\,r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} r,$

dove $\theta$ è l'angolo tra i vettori $\mathbf {k}$ e $\mathbf {r}$. Se la funzione $f$ è a simmetria circolare, non ha nessuna dipendenza dalla variabile angolare $\theta$ e può essere scritta come $f(r)$. Si può così portare fuori dall'integrazione su $\theta$, e in questo caso la trasformata di Fourier diventa

$F(\mathbf {k} )=F(k)=\int _{0}^{\infty }f(r)J_{0}(kr)\,r\,\mathrm {d} r,$

che è esattamente la trasformata di Hankel di ordine zero di $f(r)$. Analogamente per la trasformata inversa,

$f(\mathbf {r} )={\frac {1}{2\pi }}\iint F(\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\,\mathrm {d} \mathbf {k} =\int _{0}^{\infty }F(k)J_{0}(kr)\,k\,\mathrm {d} k,$

quindi $f(r)$ è la trasformata di Hankel di ordine zero di $F(k)$.

Relazione con la trasformata di Fourier (simmetria radiale in n dimensioni)

Per una trasformata Fourier n-dimensionale,

$F(\mathbf {k} )={\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\int f(\mathbf {r} )e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\,d^{n}\mathbf {r} ,$

Se la funzione $f$ è a simmetria radiale, allora

$k^{\frac {n-2}{2}}F(k)=\int _{0}^{\infty }r^{\frac {n-2}{2}}f(r)J_{\frac {n-2}{2}}(kr)\,r\,dr.$

Relazione con la trasformata di Fourier (caso generale in due dimensioni)

Per generalizzare, se $f$ può essere espansa in una serie di multipoli,

$f(r,\theta )=\sum _{m=-\infty }^{\infty }f_{m}(r)e^{im\theta },$

e se $\theta _{k}$ è l'angolo tra la direzione di $\mathbf {k}$ e l'asse $\theta =0$, allora

${\begin{aligned}F(\mathbf {k} )&={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{\infty }r\,\mathrm {d} r\,\int _{0}^{2\pi }\mathrm {d} \theta \,f(r,\theta )e^{-ikr\cos(\theta -\theta _{k})}\\&={\frac {1}{2\pi }}\sum _{m}\int _{0}^{\infty }r\,\mathrm {d} r\,\int _{0}^{2\pi }\mathrm {d} \theta \,f_{m}(r)e^{im\theta }e^{-ikr\cos(\theta -\theta _{k})}\\&={\frac {1}{2\pi }}\sum _{m}e^{im\theta _{k}}\int _{0}^{\infty }r\,\mathrm {d} r\,f_{m}(r)\int _{0}^{2\pi }\mathrm {d} \varphi \,e^{im\varphi }e^{-ikr\cos \varphi }&&(\varphi =\theta -\theta _{k})\\&=\sum _{m}e^{im\theta _{k}}\int _{0}^{\infty }r\,\mathrm {d} r\,f_{m}(r)i^{-m}J_{m}(kr)\\&=\sum _{m}i^{-m}e^{im\theta _{k}}\int _{0}^{\infty }f_{m}(r)J_{m}(kr)\,r\,\mathrm {d} r\\&=\sum _{m}i^{-m}e^{im\theta _{k}}F_{m}(k),\end{aligned}}$

dove $F_{m}(k)$ è la trasformata di Hankel di ordine $m$ di $f_{m}(r)$.

Funzioni all'interno di un raggio limitato

Inoltre, se $f_{m}$ è sufficientemente liscia vicino all'origine e è zero fuori da una palla di raggio $R$, allora può essere espansa nella serie di Čebyšëv:

$f_{m}(r)=r^{m}\sum _{t\geq 0}f_{mt}\left(1-\left({\tfrac {r}{R}}\right)^{2}\right)^{t},\quad 0\leq r\leq R.$

Sostituendola nell'ultima equazione della sezione precedente si ottiene

${\begin{aligned}F(\mathbf {k} )&=\sum _{m}i^{-m}e^{im\theta _{k}}\sum _{t}f_{mt}\int _{0}^{R}r^{m}\left(1-\left({\tfrac {r}{R}}\right)^{2}\right)^{t}J_{m}(kr)r\,\mathrm {d} r&&\\&=\sum _{m}i^{-m}e^{im\theta _{k}}R^{m+2}\sum _{t}f_{mt}\int _{0}^{1}x^{m+1}(1-x^{2})^{t}J_{m}(kxR)\,\mathrm {d} x&&(x={\tfrac {r}{R}})\\&=\sum _{m}i^{-m}e^{im\theta _{k}}R^{m+2}\sum _{t}f_{mt}{\frac {t!2^{t}}{(kR)^{1+t}}}J_{m+t+1}(kR),\end{aligned}}$

dove l'ultima uguaglianza segue da §6.567.1 di . Questo è un caso molto più generale di quello trattato nella precedente sezione. L'aspetto numerico importante è che i coefficienti $f_{mt}$ si possono ricavare con le tecniche della trasformata di Fourier discreta.

Questo è un assaggio della trasformata di Hankel veloce.

Relazione con le trasformate di Fourier e di Abel

In due dimensioni, se si definisce $A$ come l'operatore della trasformata di Abel, $F$ come l'operatore della trasformata di Fourier, e $H$ come la trasformata di Hankel di ordine zero, allora il caso particolare del teorema di proiezione-taglio per le funzioni a simmetria circolare afferma che

$FA=H.$

In altre parole, applicare la trasformata di Abel a una funzione in una dimensione e farne successivamente la trasformata di Fourier è equivalente a applicare la trasformata di Hankel alla funzione. Questo concetto si può estendere a tutte le dimensioni.

Trasformata di alcune funzioni particolari

$f(r)$	$F_{0}(k)$
$1$	${\frac {\delta (k)}{k}}$
${\frac {1}{r}}$	${\frac {1}{k}}$
$r$	$-{\frac {1}{k^{3}}}$
$r^{3}$	${\frac {9}{k^{5}}}$
$r^{m}$	${\frac {2^{m+1}\Gamma \left({\tfrac {m}{2}}+1\right)}{k^{m+2}\Gamma \left(-{\tfrac {m}{2}}\right)}},\quad -2<\Re (m)<-{\tfrac {1}{2}}$
${\frac {1}{\sqrt {r^{2}+z^{2}}}}$	${\frac {e^{-k|z|}}{k}}$
${\frac {1}{z^{2}+r^{2}}}$	$K_{0}(kz),\quad z\in \mathbf {C}$
${\frac {e^{iar}}{r}}$	${\frac {i}{\sqrt {a^{2}-k^{2}}}},\quad a>0,k<a$
	${\frac {1}{\sqrt {k^{2}-a^{2}}}},\quad a>0,k>a$
$e^{-{\frac {1}{2}}a^{2}r^{2}}$	${\frac {1}{a^{2}}}e^{-{\tfrac {k^{2}}{2a^{2}}}}$
${\frac {1}{r}}J_{0}(lr)e^{-sr}$	${\frac {2}{\pi {\sqrt {(k+l)^{2}+s^{2}}}}}K{\bigg (}{\sqrt {\frac {4kl}{(k+l)^{2}+s^{2}}}}{\bigg )}$
$-r^{2}f(r)$	${\frac {\mathrm {d} ^{2}F_{0}}{\mathrm {d} k^{2}}}+{\frac {1}{k}}{\frac {\mathrm {d} F_{0}}{\mathrm {d} k}}$

$f(r)$	$F_{\nu }(k)$
$r^{s}$	${\frac {2^{s+1}}{k^{s+2}}}{\frac {\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}(2+\nu +s)\right)}{\Gamma ({\tfrac {1}{2}}(\nu -s))}}$
$r^{\nu -2s}\Gamma (s,r^{2}h)$	${\tfrac {1}{2}}\left({\tfrac {k}{2}}\right)^{2s-\nu -2}\gamma \left(1-s+\nu ,{\tfrac {k^{2}}{4h}}\right)$
$e^{-r^{2}}r^{\nu }U(a,b,r^{2})$	${\frac {\Gamma (2+\nu -b)}{2\Gamma (2+\nu -b+a)}}\left({\tfrac {k}{2}}\right)^{\nu }e^{-{\frac {k^{2}}{4}}}\,_{1}F_{1}\left(a,2+a-b+\nu ,{\tfrac {k^{2}}{4}}\right)$
$r^{n}J_{\mu }(lr)e^{-sr}$	esprimibile in termine degli integrali ellittici.
$-r^{2}f(r)$	${\frac {\mathrm {d} ^{2}F_{\nu }}{\mathrm {d} k^{2}}}+{\frac {1}{k}}{\frac {\mathrm {d} F_{\nu }}{\mathrm {d} k}}-{\frac {\nu ^{2}}{k^{2}}}F_{\nu }$

$K_{n}(z)$ è la funzione di Bessel modificata del secondo tipo. $K(z)$ è l'integrale ellittico completo del primo tipo.

L'espressione

${\frac {\mathrm {d} ^{2}F_{0}}{\mathrm {d} k^{2}}}+{\frac {1}{k}}{\frac {\mathrm {d} F_{0}}{\mathrm {d} k}}$

coincide con l'espressione dell'operatore di Laplace in coordinate polari $(k,\theta )$ applicato alla funzione a simmetria sferica $F_{0}(k)$.

La trasformata di Hankel dei polinomi di Zernike sono essenzialmente delle funzioni di Bessel (Noll 1976):

$R_{n}^{m}(r)=(-1)^{\frac {n-m}{2}}\int _{0}^{\infty }J_{n+1}(k)J_{m}(kr)\,\mathrm {d} k$

per $n-m\geq 0$ pari.

Bibliografia

• Jack D. Gaskill, Linear Systems, Fourier Transforms, and Optics, New York, John Wiley & Sons, 1978, ISBN 978-0-471-29288-3.
• A. D. Polyanin e A. V. Manzhirov, Handbook of Integral Equations, Boca Raton, CRC Press, 1998, ISBN 978-0-8493-2876-3.
• William R. Smythe, Static and Dynamic Electricity, 3rd, New York, McGraw-Hill, 1968, pp. 179–223.
• A. C. Offord, On Hankel transforms, in Proceedings of the London Mathematical Society, vol. 39, n. 2, 1935, pp. 49–67, DOI:10.1112/plms/s2-39.1.49.
• G. Eason, B. Noble e I. N. Sneddon, On certain integrals of Lipschitz-Hankel type involving products of Bessel Functions, in Philosophical Transactions of the Royal Society A, vol. 247, n. 935, 1955, pp. 529–551, Bibcode:1955RSPTA.247..529E, DOI:10.1098/rsta.1955.0005, JSTOR 91565.
• J. E. Kilpatrick, Shigetoshi Katsura e Yuji Inoue, Calculation of integrals of products of Bessel functions, in Mathematics of Computation, vol. 21, n. 99, 1967, pp. 407–412, DOI:10.1090/S0025-5718-67-99149-1.
• Robert F. MacKinnon, The asymptotic expansions of Hankel transforms and related integrals, in Mathematics of Computation, vol. 26, n. 118, 1972, pp. 515–527, DOI:10.1090/S0025-5718-1972-0308695-9, JSTOR 2003243.
• Peter Linz e T. E. Kropp, A note on the computation of integrals involving products of trigonometric and Bessel functions, in Mathematics of Computation, vol. 27, n. 124, 1973, pp. 871–872, DOI:10.2307/2005522, JSTOR 2005522.
• Robert J Noll, Zernike polynomials and atmospheric turbulence, in Journal of the Optical Society of America, vol. 66, n. 3, 1976, pp. 207–211, Bibcode:1976JOSA...66..207N, DOI:10.1364/JOSA.66.000207.
• A. E. Siegman, Quasi-fast Hankel transform, in Opt. Lett., vol. 1, n. 1, 1977, pp. 13–15, Bibcode:1977OptL....1...13S, DOI:10.1364/OL.1.000013.
• Vittorio Magni, Giulio Cerullo e Sandro De Silverstri, High-accuracy fast Hankel transform for optical beam propagation, in J. Opt. Soc. Am. A, vol. 9, n. 11, 1992, pp. 2031–2033, Bibcode:1992JOSAA...9.2031M, DOI:10.1364/JOSAA.9.002031.
• A. Agnesi, Giancarlo C. Reali, G. Patrini e A. Tomaselli, Numerical evaluation of the Hankel transform: remarks, in Journal of the Optical Society of America A, vol. 10, n. 9, 1993, p. 1872, Bibcode:1993JOSAA..10.1872A, DOI:10.1364/JOSAA.10.001872.
• Richard Barakat, Numerical evaluation of the zero-order Hankel transform using Filon quadrature philosophy, in Applied Mathematics Letters, vol. 9, n. 5, 1996, pp. 21–26, DOI:10.1016/0893-9659(96)00067-5.
• José A. Ferrari, Daniel Perciante e Alfredo Dubra, Fast Hankel transform of nth order, in J. Opt. Soc. Am. A, vol. 16, n. 10, 1999, pp. 2581–2582, Bibcode:1999JOSAA..16.2581F, DOI:10.1364/JOSAA.16.002581.
• José D. Secada, Numerical evaluation of the Hankel transform, in Comp. Phys. Comm., vol. 116, 2–3, 1999, pp. 278–294, Bibcode:1999CoPhC.116..278S, DOI:10.1016/S0010-4655(98)00108-8.
• Thomas Wieder, Algorithm 794: Numerical Hankel transform by the Fortran program HANKEL, in ACM Trans. Math. Softw., vol. 25, n. 2, 1999, pp. 240–250, DOI:10.1145/317275.317284.
• Luc Knockaert, Fast Hankel transform by fast sine and cosine transforms: the Mellin connection (PDF) , in IEEE Trans. Signal Process., vol. 48, n. 6, 2000, pp. 1695–1701, Bibcode:2000ITSP...48.1695K, DOI:10.1109/78.845927.
• D. W. Zhang, X.-C. Yuan, N. Q. Ngo e P. Shum, Fast Hankel transform and its application for studying the propagation of cylindrical electromagnetic fields, in Opt. Express, vol. 10, n. 12, 2002, pp. 521–525, Bibcode:2002OExpr..10..521Z, DOI:10.1364/oe.10.000521.
• Joanne Markham e Jose-Angel Conchello, Numerical evaluation of Hankel transforms for oscillating functions, in J. Opt. Soc. Am. A, vol. 20, n. 4, 2003, pp. 621–630, Bibcode:2003JOSAA..20..621M, DOI:10.1364/JOSAA.20.000621.
• César D. Perciante e José A. Ferrari, Fast Hankel transform of nth order with improved performance, in J. Opt. Soc. Am. A, vol. 21, n. 9, 2004, p. 1811, Bibcode:2004JOSAA..21.1811P, DOI:10.1364/JOSAA.21.001811.
• Manuel Gizar-Sicairos e Julio C. Guitierrez-Vega, Computation of quasi-discrete Hankel transform of integer order for propagating optical wave fields, in J. Opt. Soc. Am. A, vol. 21, n. 1, 2004, pp. 53–58, Bibcode:2004JOSAA..21...53G, DOI:10.1364/JOSAA.21.000053.
• Charles Cerjan, The Zernike-Bessel representation and its application to Hankel transforms, in J. Opt. Soc. Am. A, vol. 24, n. 6, 2007, pp. 1609–1616, Bibcode:2007JOSAA..24.1609C, DOI:10.1364/JOSAA.24.001609.

Voci correlate

• Trasformata di Fourier
• Trasformata integrale
• Armoniche cilindriche

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