Triangolo di Hosoya
Il Triangolo di Hosoya è una disposizione triangolare di numeri naturali basata sulla successione di Fibonacci, in modo simile al Triangolo di Pascal. Ogni elemento è pari alla somma dei due precedenti lungo la diagonale destra e anche dei due precedenti lungo la diagonale sinistra, che idealmente passano attraverso il numero considerato. Le prime righe sono le seguenti:
1
1 1
2 1 2
3 2 2 3
5 3 4 3 5
8 5 6 6 5 8
13 8 10 9 10 8 13
21 13 16 15 15 16 13 21
34 21 26 24 25 24 26 21 34
55 34 42 39 40 40 39 42 34 55
89 55 68 63 65 64 65 63 68 55 89
144 89 110 102 105 104 104 105 102 110 89 144
etc.
La successione è descritta nel progetto OEIS dalla sequenza identificata dal codice A058071.[1]
Il nome modifica
Il nome di Triangolo di Fibonacci risulta ambiguo in quanto fu già utilizzato anche per le costruzioni proposte da Wilson nel '98 e da Yuan nel '99. Per tale motivo, si è preferito il nome di Triangolo di Hosoya, che deriva dal suo ideatore, il chimico e matematico giapponese Haruo Hosoya, che lo propose per primo nel 1976.[2]
Costruzione modifica
Ogni numero del triangolo soddisfa la relazione di ricorrenza:
- H(0, 0) = H(1, 0) = H(1, 1) = H(2, 1) = 1
e
- H(n, j) = H(n − 1, j) + H(n − 2, j)
- = H(n − 1, j − 1) + H(n − 2, j − 2).
Inoltre, ogni numero H di Hosoya soddisfa la seguente relazione rispetto alla successione di Fibonacci F:
- H(n, i) = F(i + 1) × F(n − i + 1).
Pertanto, le due diagonali più esterne sono i numeri di Fibonacci, mentre i numeri disposti lungo la linea verticale centrale sono i loro quadrati. Tutti gli altri numeri nel triangolo sono il prodotto di due distinti numeri di Fibonacci maggiori di 1. Le somme delle righe sono pari alla convoluzione dei numeri di Fibonacci.[3]
Note modifica
- ^ Sequenza OEIS codice A058071, su oeis.org. URL consultato il 1º febbraio 2020 (archiviato il 1º febbraio 2020).
- ^ Thomas Koshy, Fibonacci and Lucas Numbers with Applications, su oreilly.com. URL consultato il 1º febbraio 2020 (archiviato il 1º febbraio 2020).
- ^ Al riguardo, si può consultare anche la voce Generalizations of Fibonacci numbers presente nella Wikipedia in inglese.
Bibliografia modifica
- Haruo Hosoya (1976), "Fibonacci Triangle", The Fibonacci Quarterly, vol. 14, no. 2, pp. 173–178.
- Thomas Koshy (2001), Fibonacci and Lucas Numbers and Applications, pp. 187–195. New York: Wiley.
- Brad Wilson (1998), "The Fibonacci triangle modulo p". The Fibonacci Quarterly, vol. 36, no. 3, pp. 194–203.
- Ming Hao Yuan (1999), "A result on a conjecture concerning the Fibonacci triangle when k=4." (In Chinese.) Journal of Huanggang Normal University, vol. 19, no. 4, pp. 19–23.
- (EN) Eva Czabarka, Rigoberto Flórez e Leandro Junes, A Discrete Convolution on the Generalized Hosoya Triangle (PDF), in Journal of Integer Sequences, vol. 18, 1 (Article 15.1.6), 2015, pp. 1-22, OCLC 5735698197. URL consultato il 1º febbraio 2020 (archiviato dall'url originale il 16 gennaio 2021). Ospitato su archive.is.
- (ES) Roberto Flóres e Leandro Junes, GCD properties in the Hosoya's triangle (PDF), in The Fibonacci Quarterly, vol. 50, n. 2, maggio 2012, pp. 163-174, ISSN 0015-0517, OCLC 794422336. URL consultato il 1º febbraio 2020 (archiviato dall'url originale il 1º febbraio 2020).
