Triangolo rettangolo

Il triangolo rettangolo è un triangolo in cui l'angolo formato da due lati, detti cateti, è retto, ovvero di 90° (o π/2 radianti). Il lato opposto all'angolo retto si chiama ipotenusa. L'ipotenusa è per il teorema di Pitagora pari alla radice quadrata della somma dei quadrati dei cateti.

Il triangolo rettangolo rappresenta un caso particolare di triangolo generico, per cui molte relazioni fondamentali si semplificano. Il caso più particolare è quello del triangolo rettangolo isoscele, caso per il quale

$a = b = {1\over \sqrt 2} c \qquad \alpha = \beta = {\pi\over 4}$ .

Aggiungendo a un triangolo rettangolo il triangolo ottenuto con la sua riflessione rispetto all'ipotenusa si ottiene un aquilone. Aggiungendogli il triangolo ottenuto sottoponendolo alla rotazione di π intorno al punto medio dell'ipotenusa si ottiene il rettangolo per il quale l'ipotenusa è diagonale principale.
Dal triangolo rettangolo isoscele con entrambe le costruzioni si ottiene il quadrato di lato a = b.

Proprietà

Teoremi Fondamentali (Proprietà dei lati)


Teorema di Pitagora	$c^2 = b^2 + a^2\,$
1° Teorema di Euclide	$a^2=c\cdot a'$
1° Teorema di Euclide	$b^2=c\cdot b'$
2° Teorema di Euclide	$h^2=a'\cdot b'$

Proprietà angoli interni

Sapendo che la somma degli angoli interni di un triangolo qualsiasi è 180° (π rad), nel caso particolare di un triangolo rettangolo, sapendo che uno degli angoli interni è retto allora è facile dedurre che la somma degli altri due angoli interni vale sempre 90°:

$\alpha + \beta + 90^\circ = 180^\circ \to \alpha + \beta = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$

Da questa proprietà si può, di conseguenza dedurre che qualora venga tracciata l'altezza del triangolo rettangolo con origine nell'angolo retto essa divide tale angolo in due angoli minori, chiamati ad esempio θ e ω. Inoltre si vengono a formare due triangoli rettangoli distinti (ACH e BCH) con un cateto in comune, l'altezza appunto.

Per la proprietà descritta sopra possiamo dire che:

Considerando il Triangolo Rettangolo BCH, per la proprietà vista sopra:

$\theta + \beta = 90^\circ \to \theta = 90^\circ - \beta$

Ora consideriamo il Triangolo ABC completo:

$\alpha + \beta = 90^\circ \to \alpha = 90^\circ - \beta$

da cui deduciamo la proprietà:

$\alpha = 90^\circ - \beta = \theta \to \alpha = \theta$

Analogamente possiamo osservare che:

$\beta = \omega$

Classi di similitudine

Ogni trasformazione di similitudine trasforma un triangolo rettangolo in un triangolo rettangolo e quindi è utile considerare le classi di similitudine dei triangoli rettangoli. Esse si possono rappresentare fedelmente con i triangoli rettangoli aventi l'ipotenusa c di lunghezza 1 e il vertice opposto appartenente a una delle semicirconferenze aventi come diametro l'ipotenusa. La collezione delle classi di similitudine si può parametrizzare con il rapporto a/b delle lunghezze dei cateti ovvero con uno dei due angoli non retti, ad esempio con l'angolo $\alpha$ relativo al vertice A. La trigonometria dice che:

$\frac{a}{b} = \tan \alpha \,$
$a = c \sin \alpha \,$
$b = c \cos \alpha \,$

Triangoli Rettangoli Particolari

Triangolo Rettangolo isoscele

Chiamato anche Triangolo 90-45 date le ampiezze degli angoli che lo formano, infatti è composto da un angolo retto e due angoli da 45°. La caratteristica principale di questo triangolo è che ha i due cateti uguali e misurano $i = c \cdot \sqrt[]{2} \to c = \frac{i}{\sqrt[]{2}}$
Un'altra proprietà del triangolo rettangolo isoscele è che mediana, altezza e bisettrice relative al vertice che presenta l'angolo retto coincidono. Inoltre esse toccano l'ipotenusa esattamente nel suo punto medio, dividendo quindi tale lato in due parti uguali con lunghezza analoga all'altezza/bisettrice/mediana tracciata.

Triangolo Rettangolo 30°-60°

Deve il suo nome alle ampiezze degli angoli, infatti è caratterizzato da un angolo retto, uno di 60° ed uno di 30°. Le lunghezze dei lati di questo triangolo mantengono queste proporzioni:
$c_2 = c_1 \cdot \sqrt[]{3} \to c_1 = \frac{c_2}{\sqrt[]{3}}$
$i = 2 \cdot c_1 \to c_1 = \frac{i}{2}$
$c_2 = \frac{i \cdot \sqrt[]{3}}{2} \to i = \frac{2 \cdot c_2}{\sqrt[]{3}}$

         2P=i *2,366

Punti notevoli

L'ortocentro di un triangolo rettangolo coincide con il vertice dell'angolo retto.
Il circocentro è il punto medio dell'ipotenusa.

Per individuare il baricentro può essere comodo riferire il triangolo ad una coppia di assi cartesiani ortogonali con l'origine nel vertice C relativo all'angolo retto, l'asse delle x contenente il lato a dalla parte delle ascisse positive e l'asse delle y contenente il lato b. Scrivendo in tale riferimento le equazioni di due rette comprendenti due delle mediane e mettendole a sistema per trovarne l'intersezione si calcola che le coordinate del baricentro sono a/3 e b/3.

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