Spazio ultrametrico

In matematica, e più precisamente in topologia, uno spazio ultrametrico è uno speciale spazio metrico che soddisfa una versione rinforzata della disuguaglianza triangolare.

Definizione

Uno spazio ultrametrico è un insieme di punti X con una funzione $d:X\times X\to \mathbb {R}$ che soddisfi le seguenti proprietà per ogni x,y,z in X:

1. $d(x,y)\geq 0$
2. $d(x,y)=0$ se e solo se $x=y$
3. $d(x,y)=d(y,x)$
4. $d(x,z)\leq \max\{d(x,y),d(y,z)\}$

La funzione d è detta ultrametrica (o supermetrica o metrica non archimedea).

Esempi di spazi ultrametrici

• Un linguaggio formale, cioè un insieme di stringhe di lunghezza arbitraria su un dato alfabeto, munito della distanza che associa $2^{-n}$ a due stringhe che differiscono per la prima volta nell'n-esima posizione;
• I numeri p-adici con la metrica data da $d(x,y)=p^{-n}$, dove n è l'unico intero tale che $x-y=p^{n}(a/b)$ (con a e b interi non divisibili per p). Tale spazio è anche completo;
• Lo spazio delle successioni complesse $(x_{n})_{n}$ con la metrica indotta dalla funzione $|x|_{r}=\limsup _{n}|x_{n}|^{r_{n}}$, dove $(r_{n})_{n}$ è una data successione reale decrescente a zero.

Proprietà

Se x, y e z sono tre punti di uno spazio ultrametrico, non è possibile che le distanze tra due di essi siano tutte diverse. Infatti, se così fosse, tra di esse ci sarebbe un massimo, che evidentemente non potrebbe soddisfare la proprietà 4 della definizione. Per rendere intuitiva questa proprietà si può dire, un po' impropriamente, che in uno spazio ultrametrico tutti i triangoli sono isosceli.

Definendo inoltre la palla esattamente come in uno spazio metrico, cioè $B(x,r)=\{z\in X:d(x,z)<r\}$ allora

• Ogni punto all'interno di una palla è il suo centro;
• Se due palle si intersecano, allora una è contenuta nell'altra;
• Tutte le palle sono sia aperte che chiuse nella topologia indotta;
• L'insieme delle palle di raggio r centrate nei punti di una palla chiusa avente lo stesso raggio forma una partizione di quest'ultima.

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