Utente:Andrea And/Sandbox5

Elenco riassuntivo dei principali momenti di inerzia modifica

Massa puntiforme modifica

Descrizione	Figura	Momento di inerzia	Commento
Massa puntiforme m a distanza r dall'asse di rotazione.		$I=mr^{2}$	Un massa puntiforme non ha momento di inerzia intorno al proprio asse, ma usando il teorema degli assi paralleli si ottiene un momento di inerzia intorno a un asse di rotazione distante.
Due masse puntiformi, M e m, con massa ridotta $\mu$ e separate da una distanza, x.		$I={\frac {Mm}{M\!+\!m}}x^{2}=\mu x^{2}$	—

Asta modifica

Descrizione	Figura	Momento di inerzia	Commento
Asta di lunghezza L e massa m (asse di rotazione alla fine dell'asta)		$I_{\mathrm {estrem.} }={\frac {mL^{2}}{3}}\,\!$ ^[1]	Questa espressione assume che l'asta sia un filo infinitamente sottile ma rigido. Questo è anche un caso particolare della piastra rettangolare con asse di rotazione alla fine della piastra, e con h = L e w = 0.
Asta di lunghezza L e massa m		$I_{\mathrm {centrale} }={\frac {mL^{2}}{12}}\,\!$ ^[1]	Questa espressione assume che l'asta sia un filo infinitamente sottile ma rigido.Questo è anche un caso particolare della piastra rettangolare con asse di rotazione al centro della piastra, con w = L e h = 0.

Cerchio modifica

Descrizione	Figura	Momento di inerzia	Commento
Cerchio sottile di raggio r e massa m		$I_{z}=mr^{2}\!$ $I_{x}=I_{y}={\frac {mr^{2}}{2}}\,\!$	Questo è un caso particolare sia del toro per b = 0 (vedi più in basso), che del tubo cilindrico con pareti spesse ed estremità aperte, con r₁=r₂ e h = 0.

Disco modifica

Descrizione	Figura	Momento di inerzia	Commento
Disco solido e sottile, di raggio r e massa m		$I_{z}={\frac {mr^{2}}{2}}\,\!$ $I_{x}=I_{y}={\frac {mr^{2}}{4}}\,\!$	Questo è un caso particolare del cilindro solido, con h = 0.

Cilindro modifica

Descrizione	Momento di inerzia	Commento
Superficie cilindrica sottile con estremità aperte, di raggio r e massa m	$I=mr^{2}\,\!$ ^[1]	Questa espressione vale per un cilindro vuoto (come per esempio un tubo), con spessore delle pareti trascurabile (appunto approssimabile a una superficie cilindrica). E' un caso particolare del tubo cilindrico con pareti spesse ed estremità aperte e r₁=r₂. Anche una massa puntiforme (m) alla fine di un'asta di lunghezza r ha lo stesso momento di inerzia, e il valore r è chiamato raggio di inerzia.
Cilindro solido di raggio r, altezza h e massa m	$I_{z}={\frac {mr^{2}}{2}}\,\!$ ^[1] $I_{x}=I_{y}={\frac {1}{12}}m\left(3r^{2}+h^{2}\right)$	Questo è un caso particolare del tubo cilindrico con pareti spesse ed estremità aperte, con r₁=0. (Nota: in questa immagine gli assi X-Y sono scambiati rispetto agli assi cartesiani standard)
Tubo cilindrico con pareti spesse ed estremità aperte, di raggio interno r₁, raggio esterno r₂, lunghezza h e massa m	$I_{z}={\frac {1}{2}}m\left({r_{1}}^{2}+{r_{2}}^{2}\right)$ ^[1]^[2] $I_{x}=I_{y}={\frac {1}{12}}m\left[3\left({r_{2}}^{2}+{r_{1}}^{2}\right)+h^{2}\right]$ o definendo lo spessore normalizzato t_n = t/r e ponendo r = r₂, allora $I_{z}=mr^{2}\left(1-t_{n}+{\frac {1}{2}}{t_{n}}^{2}\right)$	con densità ρ e la stessa geometria $I_{z}={\frac {1}{2}}\pi \rho h\left({r_{2}}^{4}-{r_{1}}^{4}\right)$ $I_{x}=I_{y}={\frac {1}{12}}\pi \rho h\left(3({r_{2}}^{4}-{r_{1}}^{4})+h^{2}({r_{2}}^{2}-{r_{1}}^{2})\right)$

Sfera modifica

Descrizione	Figura	Momento di inerzia	Commento
Sfera (cava) di raggio r e massa m		$I={\frac {2mr^{2}}{3}}\,\!$ ^[1]	Una sfera cava può essere considerata come costituita da due pile di cerchi infinitamente sottili, uno sopra l'altro, con i raggi che aumentano da 0 a r (o un'unica pila, con il raggio dei cerchi crescente da -r a r).
Sfera (piena) di raggio r e massa m		$I={\frac {2mr^{2}}{5}}\,\!$ ^[1]	Una sfera può essere considerata come costituita da due pile di dischi solidi infinitamente sottili, uno sopra l'altro, con i raggi che aumentano da 0 a r (o un'unica pila, con il raggio dei cerchi crescente da -r a r). Un altro modo per ottenere la sfera piena è considerarla costituita da sfere cave infinitamente sottili, con raggio crescente da 0 a r.

Cono modifica

Descrizione	Figura	Momento di inerzia	Commento
Cono circolare retto con raggio r, altezza h e massa m		$I_{z}={\frac {3}{10}}mr^{2}\,\!$ ^[3] $I_{x}=I_{y}={\frac {3}{5}}m\left({\frac {r^{2}}{4}}+h^{2}\right)\,\!$ ^[3]	—

Toro modifica

Descrizione	Figura	Momento di inerzia	Commento
Toro con raggio del tubo (raggio del cerchio rosso) a, distanza dal centro del tubo al centro del toro (raggio del cerchio rosa) b e massa m.		Intorno al diametro: ${\frac {1}{8}}\left(4a^{2}+5b^{2}\right)m$ ^[4] Intorno all'asse verticale: $\left(a^{2}+{\frac {3}{4}}b^{2}\right)m$ ^[4]	—

Elissoide modifica

Descrizione	Figura	Momento di inerzia	Commento
Ellissoide (solido) di semiassi a, b, e c, con asse di rotazione a e massa m		$I_{a}={\frac {m(b^{2}+c^{2})}{5}}\,\!$	—

Piastra modifica

Descrizione	Figura	Momento di inerzia	Commento
Piastra rettangolare sottile di altezza h, larghezza w e massa m (Asse di rotazione all'estremità della piastra)		$I_{e}={\frac {mh^{2}}{3}}+{\frac {mw^{2}}{12}}\,\!$	—
Piastra rettangolare sottile di altezza h, larghezza w e massa m		$I_{c}={\frac {m(h^{2}+w^{2})}{12}}\,\!$ ^[1]	—

Parallelepipedo modifica

Descrizione	Figura	Momento di inerzia	Commento
Parallelepipedo solido di altezza h, larghezza w, profondità d e massa m		$I_{h}={\frac {1}{12}}m\left(w^{2}+d^{2}\right)$ $I_{w}={\frac {1}{12}}m\left(h^{2}+d^{2}\right)$ $I_{d}={\frac {1}{12}}m\left(h^{2}+w^{2}\right)$	Per un cubo orientato allo stesso modo e con lati di lunghezza $s$ : $I_{CM}={\frac {ms^{2}}{6}}\,\!$ .
Parallelepipedo solido di altezza D, larghezza W, lunghezza L e massa m con asse lungo la diagonale più lunga.		$I={\frac {m\left(W^{2}D^{2}+L^{2}D^{2}+L^{2}W^{2}\right)}{6\left(L^{2}+W^{2}+D^{2}\right)}}$	Per un cubo di lato $s$ , $I={\frac {ms^{2}}{6}}\,\!$ .

Poligono piano modifica

Descrizione	Figura	Momento di inerzia	Commento
Poligono piano con vertici ${\vec {P}}_{1}$ , ${\vec {P}}_{2}$ , ${\vec {P}}_{3}$ , ..., ${\vec {P}}_{N}$ e massa $m$ uniformemente distribuita, che ruota intorno a un asse perpendicolare al piano e passante per l'origine.		$I={\frac {m}{6}}{\frac {\sum \limits _{n=1}^{N-1}\\|{\vec {P}}_{n+1}\times {\vec {P}}_{n}\\|(({\vec {P}}_{n+1}\cdot {\vec {P}}_{n+1})+({\vec {P}}_{n+1}\cdot {\vec {P}}_{n})+({\vec {P}}_{n}\cdot {\vec {P}}_{n}))}{\sum \limits _{n=1}^{N-1}\\|{\vec {P}}_{n+1}\times {\vec {P}}_{n}\\|}}$	Questa espressione assume che il poligono sia stellato. I vettori ${\vec {P}}_{1}$ , ${\vec {P}}_{2}$ , ${\vec {P}}_{3}$ , ..., ${\vec {P}}_{N}$ sono i vettori posizione dei vertici.

Disco con massa distribuita normalmente modifica

Descrizione	Figura	Momento di inerzia	Commento
Disco infinito con massa distribuita normalmente su due assi intorno all'asse di rotazione (per esempio: $\rho (x,y)={\tfrac {m}{2\pi ab}}\,e^{-((x/a)^{2}+(y/b)^{2})/2}$ dove $\rho (x,y)$ è la densità della massa in funzione di x e y).		$I=m(a^{2}+b^{2})\,\!$	—

^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h Raymond A. Serway, Physics for Scientists e Engineers, second ed., Saunders College Publishing, 1986, p. 202, ISBN 0-03-004534-7.
^ (EN) Classical Mechanics - Moment of inertia of a uniform hollow cylinder, su livephysics.com. URL consultato il 31 gennaio 2008.
^ ^a ^b Ferdine P. Beer e E. Russell Johnston, Jr, Vector Mechanics for Engineers, fourth ed., McGraw-Hill, 1984, p. 911, ISBN 0-07-004389-2.
^ ^a ^b Eric W. Weisstein, Moment of Inertia — Ring, su scienceworld.wolfram.com, Wolfram Research. URL consultato il 25 marzo 2010.

[serway-1] ^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h Raymond A. Serway, Physics for Scientists e Engineers, second ed., Saunders College Publishing, 1986, p. 202, ISBN 0-03-004534-7.

[2] (EN) Classical Mechanics - Moment of inertia of a uniform hollow cylinder, su livephysics.com. URL consultato il 31 gennaio 2008.

[beer-3] Ferdine P. Beer e E. Russell Johnston, Jr, Vector Mechanics for Engineers, fourth ed., McGraw-Hill, 1984, p. 911, ISBN 0-07-004389-2.

[weisstein_toro-4] Eric W. Weisstein, Moment of Inertia — Ring, su scienceworld.wolfram.com, Wolfram Research. URL consultato il 25 marzo 2010.

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