Utente:Dismalsheen/Sandbox2

La funzione rampa è una funzione reale elementare, facilmente calcolabile come la media aritmetica della variabile indipendente e del suo valore assoluto.

Questa funzione è utilizzata nel campo dell'ingegneria (ad esempio, nella teoria del DSP). Il nome funzione rampa deriva dalla forma del suo grafico.

Definizioni

Grafico della funzione rampa

La funzione rampa ($R(x):\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$) può essere definita analiticamente in svariati modi. Definizioni possibili sono:

$R(x):={\begin{cases}x,&x\geq 0;\\0,&x<0\end{cases}}$

• la media di tra una linea retta con pendenza unitaria e il suo modulo:

$R(x):={\frac {x+|x|}{2}}$

ciò può essere derivato notando la definizione seguente: $max(a,b)={\frac {a+b+|a-b|}{2}}$, per cui $a=x$ and $b=0$

• la funzione gradino moltiplicata per una linea retta con pendenza unitaria:

$R\left(x\right):=xH\left(x\right)$

• La convoluzione della funzione gradino con se stessa:

$R\left(x\right):=H\left(x\right)*H\left(x\right)$

• L'integrale della funzione gradino:

$R(x):=\int _{-\infty }^{x}H(\xi )\mathrm {d} \xi$

Proprietà analitiche

Non negatività

In tutto il dominio la funzione è non negativa, quindi il suo valore assoluto è pari a se stessa:

$\forall x\in \mathbb {R} :R(x)\geqslant 0$

e

$\left|R\left(x\right)\right|=R\left(x\right)$

• Dimostrazione: attraverso la definizione [2] della media la funzione è non negativa nel I quadrante, e zero nel secondo; non è quindi mai negativa.

Derivata

La sua derivata è la funzione gradino:

$R'(x)=H(x)\ \mathrm {se} \ x\neq 0$

Si dimostra dalla definizione [5].

Trasformata di Fourier

${\mathcal {F}}\left\{R(x)\right\}(f)$ $=$ $\int _{-\infty }^{\infty }R(x)e^{-2\pi ifx}dx$ $=$ ${\frac {i\delta '(\omega )}{4\pi }}-{\frac {1}{4\pi ^{2}f^{2}}}$

Dove δ(x) è la delta di Dirac.

Trasformata di Laplace

La trasformata di Laplace di $R(x)$ si ottiene in questa maniera:

${\mathcal {L}}\left\{R\left(x\right)\right\}(s)=\int _{0}^{\infty }e^{-sx}R(x)dx={\frac {1}{s^{2}}}.$

Proprietà algebriche

Invarianza alle iterazioni

Ogni funzione iterata della rampa è pari a se stessa cioè

$R\left(R\left(x\right)\right)=R\left(x\right)$.

• Dimostrazione: $R(R(x)):={\frac {R(x)+|R(x)|}{2}}={\frac {R(x)+R(x)}{2}}$ $=$
  $=$ ${\frac {2R(x)}{2}}=R(x)$.

Si applica la proprietà di non-negatività.

Collegamenti esterni

• Mathworld

[[Categoria: Funzioni reali di variabile reale]]