Utente:Ming mm/Equazioni di Oseen

In fluidodinamica, le equazioni di Oseen (o flusso di Oseen ) descrivono il flusso di un fluido viscoso e incomprimibile a piccoli numeri di Reynolds, come formulato da Carl Wilhelm Oseen nel 1910. Le equazioni di Oseen migliorano la descrizione rispetto al flusso di Stokes, con l'inclusione (parziale) dell'accelerazione convettiva.

Il lavoro di Oseen si basa sugli esperimenti di GG Stokes, che aveva studiato il comportamento di una sfera all'interno di un fluido viscoso. Oseen ha sviluppato un termine di correzione per la velocità del flusso utilizzata nei calcoli di Stokes, che includeva fattori inerziali.

Questa approssimazione porta a un miglioramento dei calcoli di Stokes che risolvono il problema noto come paradosso di Stokes.

Equazioni

Le equazioni di Oseen, nel sistema di riferimento di un oggetto che si muove con una velocità costante U attraverso il fluido, supponendo che questo sia fermo a distanza dall'oggetto, sono:

${\begin{aligned}-\rho \mathbf {U} \cdot \nabla \mathbf {u} &=-\nabla p\,+\,\mu \nabla ^{2}\mathbf {u} ,\\\nabla \cdot \mathbf {u} &=0,\end{aligned}}$

dove

• u è la variazione della velocità del flusso, indotta dall'oggetto in movimento, cioè la velocità totale del fluido, nel sistema di riferimento che si muove con l'oggetto è - U + u ,
• p è la pressione ,
• ρ è la densità del fluido,
• μ è la viscosità dinamica ,
• ∇ è l'operatore gradiente, e
• ∇ ² è l' operatore di Laplace .

Le condizioni al contorno delle equazioni di Oseen, attorno a un corpo rigido sono:

${\begin{aligned}\mathbf {u} &=\mathbf {U} &&{\text{sulla superficie dell'oggetto}},\\\mathbf {u} &\to 0&&{\text{e}}\quad p\to p_{\infty }\quad {\text{per}}\quad r\to \infty ,\end{aligned}}$

dove r indica a distanza dal centro dell'oggetto e p _∞ la pressione costante lontano dall'oggetto.

Onde longitudinali e trasversali

Osserviamo una proprietà fondamentale dell'equazione di Oseen: la soluzione generale può essere suddivisa in onde longitudinali e trasversali .

Una soluzione $\left(\mathbf {u} _{\text{L}},p'\right)$ è chiamata onda longitudinale se la velocità è irrotazionale e di conseguenza il termine viscoso si annulla. Le equazioni diventano

${\mathbf {u} _{\text{L}}}_{t}+U{\mathbf {u} _{\text{L}}}_{x}+{\frac {1}{\rho }}\nabla p=0,\quad \nabla \cdot \mathbf {u} _{\text{L}}=0,\quad \nabla \times \mathbf {u} _{\text{L}}=0$

Segue di conseguenza

$\mathbf {u} _{\text{L}}=\nabla \phi ,\quad \nabla ^{2}\phi =0,\quad p'=p-p_{\infty }=-\rho U\mathbf {u} _{\text{L}}$

La velocità è derivata dalla teoria del potenziale e la pressione è calcolata dalle equazioni di Bernoulli.

Una soluzione $(\mathbf {u} _{\text{T}},0)$ è chiamata onda trasversale se la pressione $p'$ è identicamente nulla e il campo di velocità è solenoidale. Le equazioni sono

${\mathbf {u} _{\text{T}}}_{t}+U{\mathbf {u} _{\text{T}}}_{x}=\nu \nabla ^{2}\mathbf {u} _{\text{T}},\quad \nabla \cdot \mathbf {u_{T}} =0.$

la soluzione completa di Oseen è quindi data da

$\mathbf {u} =\mathbf {u} _{\text{L}}+\mathbf {u} _{\text{T}}$

un teorema di scomposizione dovuto a Orazio Lamb. La scomposizione è unica se sono specificate le condizioni all'infinito (indicando $\mathbf {u} =0,\ p=p_{\infty }$ ).

Per alcuni tipi di equazioni di Oseen, è possibile un'ulteriore suddivisione dell'onda trasversale in componenti rotazionali e irrotazionali $\mathbf {u} _{\text{T}}=\mathbf {u} _{1}+\mathbf {u} _{2}.$ Sia $\chi$ una funzione scalare tale che soddisfa $U\chi _{x}=\nu \nabla ^{2}\chi$ che si annulla all'infinito e $\mathbf {u} _{\text{T}}=(u_{\text{T}},v_{\text{T}})$ sia tale che $\int _{-\infty }^{\infty }v_{\text{T}}dy=0$, allora l'onda trasversale diventa

$\mathbf {u} _{\text{T}}=-{\frac {\nu }{U}}\nabla \chi +\chi \mathbf {i} ,\quad \mathbf {u} _{\text{1}}=-{\frac {\nu }{U}}\nabla \chi ,\quad \mathbf {u} _{\text{2}}=\chi \mathbf {i} .$

[[Categoria:Equazioni nella fluidodinamica]] [[Categoria:Fluidodinamica]]