Utente:Skyhc/Sandbox

Successioni di Dirac

Le successioni di Dirac sono successioni di funzioni che approssimano la delta di Dirac.

Facendone la convoluzione con una funzione continua f su un compatto si ottiene un'approssimazione unifome di f, che, con un'opportuna scelta iniziale, avrà certe proprietà (ad esempio può essere un'approssimazione polinomiale). In questo modo si possono dimostrare risultati importanti tra cui il teorema di Weierstrass, la convergenza per le serie di Fourier, la risoluzione del problema di Dirichlet per le funzioni armoniche su un disco, o l'approssimazione di una funzione in L^p ( R^m ) con una successione in C^∞ ( R^m ).

Definizione

Una successione { K_n } di funzioni reali continue su R^m si dice di Dirac se:

• K_n > 0 per ogni n;
• per ogni n si ha

$\int K_{n}(x)\ dx=1;$

• il volume sotto le K_n si concentra nell'origine per n → + ∞, cioè per ogni ε e δ positivi esiste N tale che se n > N allora

$\int _{\|x\|\geq \delta }K_{n}(x)\ dx<\varepsilon .$

Queste condizioni implicano che K_n converge in senso debole a δ ( x ).

Può capitare di trovare altre definizioni in letteratura, ad esempio con una famiglia continua di funzioni { K_φ } dove φ varia in un certo intervallo reale anzichè in N, oppure in cui il dominio non è R^m ma l' m-toro (quando si tratta con funzioni periodiche). L'idea rimane comunque la stessa, quando l'indice si avvicina ad un certo valore, K_φ approssima δ.

Esempi

Possiamo ottenere una serie infinita di esempi partendo da una qualsiasi funzione φ : R^m → R_≥0 continua, con supporto nella palla unitaria e tale che ∫ φ = 1, infatti si dimostra facilmente che in questo caso φ_k ( x ) = k ^m φ ( k x ) è di Dirac.

Nuclei di Landau

Grafici dei nuclei di Landau per k = 1, 3, 5, 7, 9.

I nuclei di Landau sono delle funzioni che formano una successione di Dirac usata per l'appossimazione polinomiale nel teorema di Weierstrass. Si definisce φ_k : R → R_≥0

$\varphi _{k}(x)={\frac {1}{c_{k}}}(1-x^{2})^{k}\chi _{[-1,1]}$

dove χ è la funzione caratteristica e c_k la costante che normalizza la funzione, cioè

$c_{k}=\int _{-1}^{1}(1-x^{2})^{k}dx$

in modo che ∫ φ_k = 1.

Per verificare che si concentrano in un intorno dell'orgine bastano un paio di stime. Infatti

${\frac {1}{2}}c_{k}=\int _{0}^{1}(1-x^{2})^{k}dx\geq \int _{0}^{1}(1-x)^{k}dx={\frac {1}{k+1}}$

cioè 1 / c_k ≤ ( k + 1 ) / 2, quindi per 0 < δ < 1

$\int _{\delta }^{1}{\frac {1}{c_{k}}}(1-x^{2})^{k}dx\leq \int _{\delta }^{1}{\frac {k+1}{2}}(1-\delta ^{2})^{k}dx={\frac {k+1}{2}}(1-\delta ^{2})^{k}(1-\delta )$

che tende a 0 per k → +∞. Visto che φ_k è pari la stima per l'integrale da -1 a -δ è identica.

Approssimazione di funzioni per convoluzione

Il risultato fondamentale è:

Sia f : R^m → R quasi ovunque continua, limitata da un certo M (cioè -M < f ( x ) < M per ogni x), e sia X un compatto su cui f è continua. Fissata una successione di Dirac { K _n }, chiamiamo f _n la convoluzione di f con K _n, cioè

$f_{n}(x):=(f*K_{n})(x)=\int _{\mathbb {R} ^{m}}f(t)K_{n}(x-t)\ dt.$

allora f _n converge uniformemente ad f su X per n → +∞.

Ricordando che f $\ *$ K_n = K_n $\ *$ f e che l'integrale di K _n su R^m è 1 possiamo riscrivere

$|f_{n}(x)-f(x)|=\left|\int _{\mathbb {R} ^{m}}(f(x-t)-f(x))K_{n}(t)\ dt\right|.$

Per dimostrare che

$\sup _{x\in X}|f_{n}(x)-f(x)|\to 0$

si fissa un x ∈ X ed un suo intorno B sufficientemente piccolo, si spezza l'integrale quì sopra in due, uno su B e l'altro su X - B, usando la continuità di f e le proprietà di { K _n } si riescono a maggiorare con una quantità infinitesima entrambi, infine, usando la compattezza, si trasporta il risultato locale a livello globale.

Entrando nei dettagli, dato ε > 0 ed x ∈ X, dalla continuità di f esiste un δ_x > 0 tale che

$\ |f(x-t)-f(x)|<\epsilon$

per ║ t ║ < δ_x. Spezzando l'integrale ed usando la disuguaglianza triangolare si ottiene

$|f_{n}(x)-f(x)|\leq \int _{\|t\|<\delta _{x}}+\int _{\|t\|\geq \delta _{x}}|f(x-t)-f(x)|K_{n}(t)\ dt.$

Troviamo delle maggiorazioni per i due termini. Dalla definizione di successione di Dirac esiste N_x tale che se n > N_x allora

$\int _{\|t\|\geq \delta _{x}}K_{n}(t)\ dt<{\frac {\epsilon }{2M}}$

e quindi (usando la limitazione | f ( x - t ) - f ( x ) | < 2 M )

$\int _{\|t\|\geq \delta _{x}}|f(x-t)-f(x)|K_{n}(t)\ dt<\epsilon$

mentre per l'altro addendo si ha

$\int _{\|t\|<\delta _{x}}|f(x-t)-f(x)|K_{n}(t)\ dt\leq \epsilon \int _{\mathbb {R} ^{m}}K_{n}(t)=\epsilon .$

L'insieme { B ( x, δ_x ) } delle palle centrate in x di raggio δ_x è un ricoprimento aperto di X, quindi esiste un sottoricoprimento finito { B ( x_i, δ_xi ) }_i=1..n e per tutti gli n maggiori del massimo degli N_xi vale sup_x∈X | f _n ( x ) - f ( x ) | < 2 ε.

Bibliografia

• (EN) Serge Lang, Undergraduate Analysis, Springer, 1997, ISBN 0-387-94841-4.