Distribuzione di Birnbaum-Saunders

In teoria delle probabilità la distribuzione di Birnbaum-Saunders, noto anche come distribuzione della vita a fatica, è una distribuzione di probabilità continua[1], dipendente da due parametri[2], definita sui numeri reali positivi e utilizzata per descrivere probabilità di rottura di un sistema.

Venne descritta nel 1969 da Z.W. Birnbaum e Sam C. Saunders con due articoli nel Journal of Applied Probability (A new family of life distributions e Estimation for a family of life distributions with applications to fatigue)[3].

funzione di densità di probabilità per alcuni valori di α, con β=1

La funzione di densità di probabilità è

È legata alla variabile casuale normale standardizzata dalle seguenti relazioni:

Se Z~N(0;1) e

allora T è una variabile casuale di Birnbaum-Saunders con parametri e .

Se T~BS(α , β) allora

è distribuita come una normale standardizzata.

I momenti di ordine n sono dati da

per cui valore atteso, e la mediana sono

mediana = β

la varianza e il coefficiente di variazione sono

mentre gli indici di simmetria e curtosi sono

dall'assenza di β da questi ultimi 3 indici si capisce perché il coefficiente β venga chiamato coefficiente di scala, infatti vale che se T~BS(α,β) allora

  • cT ~ BS(α , cβ), per valori positivi di c
  • 1/T ~ BS(α , 1/β)

La funzione cumulata F(x) è data da

dove è la funzione cumulata di una Normale standardizzata N(0,1)

L'inversa della funzione cumulata , utile per calcolare i quantili o generare numeri casuali, è data da

, per

dove è il p-esimo percentile della N(0,1), così come si trova abitualmente tabulata.

  1. ^ N. Johnson, S. Kotz e N. Balakrishnan, Distribuzioni univariate continue, New York, Wiley, 1995.
  2. ^ A. J. Lemonte, F. Cribari-Neto e K. L. P. Vasconcellos, Inferenza statistica migliorata per la distribuzione di Birnbaum-Saunders a due parametri, in Statistica computazionale e analisi dei dati, n. 51, 2007, pp. 4656–4681.
  3. ^ Z. W. Birnbaum e S. C. Saunders, A new family of life distributions, in Journal of Applied Probability, vol. 6, n. 2, pp. 319–327, DOI:10.2307/3212003.

Voci correlate

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