Varietà parallelizzabile

In matematica, una varietà differenziabile M di dimensione n si dice parallelizzabile se ammette un insieme di n campi vettoriali linearmente indipendenti, definiti globalmente sull'intera varietà M.

Definizione

Data una varietà differenziabile M di dimensione n, una parallelizzazione di M è un insieme $\scriptstyle {\{X_{1},\dots ,X_{n}\}}$ di n campi vettoriali definiti su tutta la varietà $\scriptstyle M\,$ in modo che per ogni punto $\scriptstyle {p\in M}\,$ l'insieme $\scriptstyle {\{X_{1}(p),\dots ,X_{n}(p)\}}$ risulti una base di $\scriptstyle {T_{p}M}\,$, dove $\scriptstyle {T_{p}M}\,$ denota la fibra sopra p del fibrato tangente $\scriptstyle {TM}\,$.

In queste ipotesi si dice che M è una varietà parallelizzabile, poiché ammette una parallelizzazione.

Esempi

• Ogni gruppo di Lie è una varietà parallelizzabile.
• Il prodotto di due o più varietà parallelizzabili è ancora una varietà parallelizzabile.
• Ogni spazio affine, considerato come varietà differenziabile, è parallelizzabile.

Proprietà

Proposizione. Una varietà $\scriptstyle M\,$ è parallelizzabile se e solo se esiste un diffeomorfismo $\scriptstyle {\phi \colon TM\longrightarrow M\times {\mathbb {R} ^{n}}}\,$ tale che la prima proiezione di $\scriptstyle {\phi }\,$ sia $\scriptstyle {\tau _{M}\colon TM\longrightarrow M}\,$ e per ogni $\scriptstyle {p\in M}\,$ il secondo fattore — ristretto a $\scriptstyle {T_{p}M}\,$ — sia una applicazione lineare $\scriptstyle {\phi _{p}\colon T_{p}M\rightarrow {\mathbb {R} ^{n}}}\,$.

In altre parole, $\scriptstyle M\,$ è parallelizzabile se e solo $\scriptstyle {\tau _{M}\colon TM\longrightarrow M}\,$ è un fibrato vettoriale banale. Per esempio sia $\scriptstyle M\,$ un sottoinsieme aperto di $\scriptstyle {\mathbb {R} ^{n}}\,$, cioè una sottovarietà aperta di $\scriptstyle {\mathbb {R} ^{n}}\,$. Allora il fibrato tangente $\scriptstyle {TM}\,$ è diffeomorfo a $\scriptstyle {M\times {\mathbb {R} ^{n}}}\,$, e la varietà $\scriptstyle {M}\,$ è ovviamente parallelizzabile.

Bibliografia

• (EN) R.L. Bishop, S.I. Goldberg, Tensor Analysis on Manifolds, First Dover 1980, The Macmillan Company, 1968, ISBN 0-486-64039-6.
• (EN) J.W. Milnor, J.D. Stasheff, Characteristic Classes, Princeton University Press, 1974.

Voci correlate

• Fibrato
• Fibrato tangente
• Fibrato vettoriale
• Varietà differenziabile