In geometria un angolo solido è un'estensione allo spazio tridimensionale del concetto di angolo piano. Esso è definito come ciascuna delle due regioni in cui viene suddiviso lo spazio dalla superficie formata dalle semirette che hanno origine in uno stesso punto (detto vertice dell'angolo solido) e passanti per i punti di una curva chiusa semplice tracciata su una superficie non contenente il vertice. L'unità di misura dell'angolo solido è lo steradiante.

Un caso particolare di angolo solido è l'angoloide poliedrico (o semplicemente angoloide) che si ottiene quando la curva è un poligono. Un angoloide può essere chiamato angoloide quadrico quando ammette che le proprie facce siano tangenti a una quadrica di rotazione, come avviene nel caso dell'angoloide triedrico.

Misura dell'angolo solido

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Angolo solido W sotteso in una sfera di raggio R

La misura in steradianti dell'angolo solido   è definita come  , dove   è l'area della porzione di superficie sferica di raggio   vista sotto l'angolo  . Tale definizione è indipendente dal particolare valore del raggio scelto, ed è un'estensione allo spazio tridimensionale della definizione della misura di un angolo piano   in radianti come  , dove   è la lunghezza dell'arco di circonferenza di raggio   sotteso da  . L'angolo solido sotteso da una superficie generica rispetto a un punto P è dunque equivalente a quello sotteso dalla proiezione della stessa superficie su una sfera di raggio qualsiasi centrata in P.

Dalla precedente definizione consegue che l'angolo solido sotteso dall'intera superficie sferica misura  . Per avere la misura in gradi quadrati si moltiplica il valore in steradianti per  , ovvero per  . Quindi tutta la sfera corrisponde a circa 41253 gradi quadrati.

  • Nel caso di un cono di apertura  , la misura dell'angolo solido   rispetto al vertice è uguale a:
 

Caso particolare è l'angolo solido sotteso da mezza sfera, cioè da un angolo pari a  . La formula diventa:

 

che è uguale alla metà di   che è l'intero angolo solido.

  • Una semplice formula per calcolare la misura dell'angolo solido sotteso di un triangolo di vertici  ,   e   e visto dall'origine è stata formulata da Oosterom e Strackee:
 

dove:

  è la rappresentazione vettoriale del punto  ;
  denota la distanza del punto   dall'origine (norma euclidea di  );
  denota il prodotto scalare;
  denota il prodotto vettoriale;
  denota il valore assoluto.

  è anche l'area del triangolo che giace in una sfera centrata nell'origine e di raggio unitario, avente come lati i segmenti di intersezione della sfera con i piani passanti per l'origine e due vertici.

Il segno del numeratore (prima della valutazione del modulo) indica se dall'origine è visibile la faccia interna del triangolo ( ) o la faccia esterna ( ). L'orientazione del triangolo è definita tramite l'orientazione dei suoi vertici (senso orario o antiorario).

Nota bene: nel caso in cui il denominatore risultasse negativo, l'arcotangente restituirebbe un valore negativo, a cui deve essere aggiunto  .

Il sole e la luna sono visti dalla Terra all'incirca sotto lo stesso angolo solido, che corrisponde più o meno a 1/100000 della volta celeste.

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