Coefficiente angolare

In geometria analitica il coefficiente angolare, o informalmente pendenza, di una retta nel piano cartesiano è un numero che descrive la direzione e la "ripidezza" della retta. Spesso indicato con $m$, stabilisce insieme all'intercetta delle ordinate $q$ una e una sola retta nel piano cartesiano, mediante la formula:

Il coefficiente angolare m è uguale alla tangente goniometrica dell'angolo formato dalla retta con l'asse delle ascisse x

$y=mx+q.$

Definizione

Il coefficiente angolare di una retta non verticale è il rapporto tra la differenza delle ordinate e la differenza delle ascisse fra due punti distinti della retta. Per una retta verticale, il coefficiente angolare non è definito in quanto la definizione comporterebbe una divisione per zero.

Partendo dai coefficienti dell'equazione generale di una retta, $ax+by+c=0$, se $b\neq 0$ (retta non verticale), il coefficiente angolare è espresso dal rapporto

$m=-{\frac {a}{b}}.$

Infatti, ponendo $q=-{\frac {c}{b}}$, la retta (non verticale) si esprime mediante l'equazione $y=mx+q$. Allora siano $(x_{1},y_{1})$ e $(x_{2},y_{2})$ due punti distinti della retta:

${\begin{cases}y_{1}=mx_{1}+q\\y_{2}=mx_{2}+q\end{cases}}\quad \Rightarrow \quad q=y_{1}-mx_{1}=y_{2}-mx_{2}\quad \Rightarrow \quad m(x_{1}-x_{2})=(y_{1}-y_{2})\quad \Rightarrow \quad m={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {\Delta y}{\Delta x}}.$

Proprietà

Due rette non verticali sono parallele se e solo se hanno lo stesso coefficiente angolare.

Il coefficiente angolare di una retta passante per l'origine è la tangente goniometrica dell'angolo $\alpha$ (con segno positivo) formato dal semiasse positivo delle ascisse e la parte di retta giacente nel semipiano superiore (ossia il semipiano corrispondente ai punti di ordinata positiva): la retta infatti passa per il punto di coordinate $(x_{1},y_{1})=(\cos \alpha ,\sin \alpha )$ (tale punto è l'intersezione della retta con la circonferenza goniometrica), quindi

$m={\frac {y_{1}}{x_{1}}}={\frac {\sin \alpha }{\cos \alpha }}=\tan \alpha .$

Poiché due rette in forma generale, $ax+by+c=0$ e $a'x+b'y+c'=0$, sono perpendicolari esattamente quando $aa'+bb'=0$, ne segue che due rette (non verticali) $y=mx+q$ e $y=m'x+q'$ sono perpendicolari esattamente quando il prodotto dei loro coefficienti angolari è

$mm'=-1.$

Questa condizione può essere riscritta come $m'=-{\frac {1}{m}}$, ed espressa dicendo che $m'$ è l'antireciproco (opposto del reciproco) di $m$.

Coefficiente angolare e derivata

Data una retta descritta come grafico della funzione $f(x)=mx+q$, la derivata della funzione è proprio il coefficiente angolare della retta: $f'(x)=m$.

Voci correlate

• Derivata
• Grafico di una funzione
• Intercetta
• Retta nel piano cartesiano
• Tangente (matematica)

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• Wikizionario

• Wikizionario contiene il lemma di dizionario «coefficiente angolare»

Collegamenti esterni

• coefficiente angolare, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• (EN) slope, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Slope, su MathWorld, Wolfram Research.