In geometria differenziale la curvatura scalare (o scalare di Ricci) è il più semplice invariante di curvatura di una varietà riemanniana. Ad ogni punto della varietà essa associa un numero reale determinato dalla geometria intrinseca della varietà intorno a quel punto. La curvatura scalare è definita a partire dal tensore di curvatura di Ricci, che è a sua volta definito a partire dal tensore di Riemann.

Definizione

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Sia   una varietà riemanniana o varietà pseudo-riemanniana. La curvatura scalare è una funzione differenziabile che associa ad ogni punto di   un numero reale, definito contraendo i due indici del tensore di curvatura di Ricci nel modo seguente:

 

Il tensore di curvatura di Ricci è un tensore di tipo  , ovvero una forma bilineare. La curvatura scalare è la traccia di questa forma bilineare. Per calcolare la traccia è necessario fare uso del tensore metrico  , presente nella formula.

La curvatura scalare è un tensore di tipo  , ovvero una funzione.

Proprietà

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Simboli di Christoffel

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In un sistema di coordinate, la curvatura scalare dipende dai simboli di Christoffel e dalle loro derivate parziali nel modo seguente:

 

La curvatura scalare può essere interpretata geometricamente come un numero che misura il modo in cui è distorto il volume intorno ad un punto.

Quando la curvatura scalare in un punto è positiva, il volume di una piccola palla centrata nel punto   della varietà riemanniana   ha volume minore di una palla dello stesso raggio nello spazio euclideo. D'altra parte, se la curvatura scalare è negativa, la palla ha volume maggiore. Da un punto di vista quantitativo, questa relazione può essere espressa come segue. Il rapporto fra i volumi di una palla di raggio   è dato da

 

La derivata seconda di questo rapporto, valutata in  , è esattamente

 

Analogamente, i bordi di queste palle sono delle  -sfere, le cui aree soddisfano la relazione seguente:

 

Oggetto riemanniano

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A differenza del tensore di Riemann e del tensore di Ricci, la curvatura scalare necessita fortemente del tensore metrico   per essere definita. Non esiste quindi una definizione di curvatura scalare nel contesto più ampio delle connessioni.

Superficie

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In una superficie la curvatura scalare è pari alla curvatura gaussiana   moltiplicata per due:

 

La curvatura scalare di una ipersfera   di raggio   è costante in ogni punto, ed è pari a

 

Bibliografia

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  • (EN) J.L. Synge e A. Schild, Tensor Calculus, first Dover Publications 1978 edition, 1949, ISBN 978-0-486-63612-2.
  • (EN) J.R. Tyldesley, An introduction to Tensor Analysis: For Engineers and Applied Scientists, Longman, 1975, ISBN 0-582-44355-5.
  • (EN) D.C. Kay, Tensor Calculus, Schaum’s Outlines, McGraw Hill (USA), 1988, ISBN 0-07-033484-6.
  • (EN) Manfredo Perdigao do Carmo, Riemannian Geometry, 1994.
  • (EN) Shoshichi Kobayashi, Katsumi Nomizu, Foundations of Differential Geometry, Vol. 1, Wiley-Interscience, 1996 (Nuova edizione), ISBN 0-471-15733-3.

Voci correlate

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