Incommensurabilità

Due grandezze $x$ e $y$ si dicono fra loro commensurabili se esiste fra loro un sottomultiplo comune, ossia se esistono due opportuni numeri naturali $m$ e $n$ per i quali:

${\frac {x}{m}}={\frac {y}{n}}$

Il valore di queste frazioni è il sottomultiplo comune alle grandezze $x$ e $y$. Di conseguenza quando due grandezze sono commensurabili è possibile esprimere la misura della prima grandezza rispetto alla seconda utilizzando un numero razionale, cioè è possibile scrivere

$x={m \over n}\cdot y$

Al contrario, due coppie di grandezze si dicono incommensurabili quando non hanno alcun sottomultiplo comune, ovvero non esiste alcuna frazione in grado di esprimere il rapporto ${x \over y}$. Da ciò consegue che la misura della prima grandezza rispetto alla seconda non è un numero razionale, perché non è esprimibile sotto forma di frazione.

Esempio di grandezze non commensurabili

La coppia di grandezze incommensurabili più semplice e da più tempo conosciuta è certamente quella formata dal lato di un quadrato e dalla sua diagonale. Per dimostrare che queste due grandezze sono incommensurabili, basta dimostrare che la misura di una rispetto all'altra non è un numero razionale. Prima di tutto stabiliamo qual è il valore dalla diagonale (che chiameremo $d$) rispetto al lato (che chiameremo $l$). Per farlo utilizziamo il teorema di Pitagora.

Infatti dato un quadrato, sappiamo che:

$d^{2}=l^{2}+l^{2}$

da cui

$d^{2}=2l^{2}$

allora

$d={\sqrt {2l^{2}}}$

semplificando abbiamo che

$d={\sqrt {2}}\cdot l$

abbiamo quindi trovato la misura di $d$ rispetto a $l$. Ora è necessario dimostrare che il numero ${\sqrt {2}}$ non è razionale. Per farlo utilizziamo una delle varie dimostrazioni dell'irrazionalità di radice di due.

L'incommensurabilità tra lato e diagonale di un quadrato fu il primo caso nel quale l'incommensurabilità fu dimostrata. La dimostrazione, attribuita in genere a Ippaso di Metaponto, fu certamente effettuata all'interno della scuola pitagorica e causò una grave crisi delle concezioni matematiche dell'epoca.

Bibliografia

• Euclide, Elementi, libro X
• Morris Kline, Storia del pensiero matematico, vol I, capp. 3 e 4, Einaudi, 1999. ISBN 978-88-06-15417-2
• (EN) Miklós Laczkovich, Conjecture and Proof, Cambridge University Press, 2001, pp. 3–5. ISBN 978-0-88385-722-9

Voci correlate

• Numeri irrazionali
• Quadrato (geometria)
• Grandezza fisica

Altri progetti

Altri progetti

• Wikizionario

• Wikizionario contiene il lemma di dizionario «incommensurabilità»