Minimo comune multiplo

In matematica, il minimo comune multiplo di due numeri interi $a$ e $b$, indicato con $\operatorname {mcm} (a,b)$, è il più piccolo numero intero positivo multiplo sia di $a$ sia di $b$. Nel caso particolare in cui uno tra $a$ o $b$ è uguale a zero, allora si definisce $\operatorname {mcm} (a,b)$ uguale a zero. È possibile calcolare il minimo comune multiplo di più di due numeri, sostituendo man mano due dei numeri con il loro comune multiplo e proseguendo fino a che non rimane un solo numero che è il risultato; si può dimostrare che il risultato è lo stesso qualunque sia l'ordine in cui vengono fatte le sostituzioni.

Diagramma di Venn che mostra i minimi comuni multipli di tutte le combinazioni dei numeri 2, 3, 4, 5 e 7

Calcolo del minimo comune multiplo

Per calcolare il minimo comune multiplo, si possono usare vari procedimenti equivalenti.

Partendo dal MCD

Il minimo comune multiplo è utile quando occorre sommare due o più frazioni. La regola per la somma di frazioni richiede infatti di cominciare con il trasformarle in modo che tutti i denominatori siano uguali; a questo punto si possono sommare i numeratori, e usare il valore comune dei denominatori come denominatore. Il più piccolo denominatore che si può usare, detto minimo comune denominatore, è proprio il minimo comune multiplo dei denominatori. Il minimo comune multiplo di due numeri $a$ e $b$ diversi da zero può essere calcolato usando il massimo comun divisore (MCD) di $a$ e $b$ e la formula seguente:

$\operatorname {mcm} (a,b)={\frac {a\cdot b}{\operatorname {MCD} (a,b)}}.$

Per esempio:

$\operatorname {mcm} (21,6)={21\cdot 6 \over \operatorname {MCD} (21,6)}={21\cdot 6 \over 3}=42.$

Per semplificare i conteggi ci si può ricordare che per costruzione il MCD tra due numeri è divisore di ciascuno di loro; si può pertanto cominciare a dividere uno dei numeri per il massimo comun divisore e poi moltiplicare il risultato per il secondo numero. In questo esempio abbiamo così ${{21:3}\cdot 6}={7\cdot 6}=42.$. Per calcolare velocemente il minimo comune multiplo si può usare l'algoritmo di Euclide.

Con semplificazione e moltiplicazione a croce

Una variante del metodo precedente permette di semplificare automaticamente il MCD e di verificare il risultato ottenuto. Se per esempio si vuole trovare il $\operatorname {mcm} (12,8)$, i passi sono i seguenti.

• Si deve ridurre ai minimi termini la frazione avente come numeratore e denominatore i due numeri di cui si deve trovare il minimo comune multiplo: ${12 \over 8}={3 \over 2}.$
• Si esegue la "moltiplicazione a croce": $12\times 2=8\times 3.$
• I due prodotti saranno uguali e corrispondono al minimo comune multiplo: $12\times 2=8\times 3=24$.

Il ridurre ai minimi termini la frazione costruita con i due numeri è infatti equivalente a dividere ciascuno di essi per il massimo comun divisore, e la moltiplicazione a croce completa il prodotto del metodo precedente.

Usando il teorema fondamentale dell'aritmetica

Il teorema fondamentale dell'aritmetica afferma che ogni intero maggiore di $1$ può essere scritto in un modo unico come prodotto di fattori primi. I numeri primi possono essere considerati come "atomi" che, combinati insieme, producono un numero composto.

Per esempio:

$90=2^{1}\cdot 3^{2}\cdot 5^{1}=2\cdot 9\cdot 5$

Il numero composto $90$ è costituito da un elemento uguale al numero primo $2$, due elementi uguali al numero primo $3$ e un elemento uguale al numero primo $5$.

Si può usare questo teorema per trovare facilmente il mcm di un gruppo di numeri.

Per esempio: calcolare il $\operatorname {mcm} (45,120,75)$.

$45=3^{2}\cdot 5^{1}$

$120=2^{3}\cdot 3^{1}\cdot 5^{1}$

$75=3^{1}\cdot 5^{2}$

Il minimo comune multiplo è il prodotto di tutti i fattori primi comuni e non comuni, presi una sola volta con il massimo esponente. Quindi

$\operatorname {mcm} (45,120,75)=2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 5^{2}=8\cdot 9\cdot 25=1800.$

Il vantaggio di questo metodo è che può essere direttamente usato per calcolare il minimo comune multiplo di più numeri; lo svantaggio è che non sempre è facile trovare la scomposizione in fattori dei numeri di partenza.

Minimo comune multiplo tra espressioni algebriche

Il minimo comune multiplo può anche essere calcolato tra espressioni algebriche: si procede alla scomposizione in fattori (monomi, binomi, trinomi...), comunque espressioni algebriche non trasformabili in prodotto di espressioni algebriche di grado inferiore) primi tra loro e si ricava il mcm tra le espressioni algebriche applicando la stessa definizione data per i numeri.

Esempio:

• Calcolo di $\operatorname {mcm} (2np,(p+q)^{2},4n^{2}(q+p)^{3})$.

Le espressioni sono già indicate come prodotti di espressioni algebriche semplici e allora il loro mcm risulta

$\operatorname {mcm} (2np,(p+q)^{2},4n^{2}(q+p)^{3})=\operatorname {mcm} (4,n^{2},p,(p+q)^{3})=4n^{2}p(p+q)^{3}.$

• Calcolo di $\operatorname {mcm} (x^{3},ab(x^{2}-2x+1),(1-x))$.

Si ha che

$x^{3}=x^{3}$

$ab(x^{2}-2x+1)=ab(x-1)^{2}=ab(1-x)^{2}$

$(1-x)=-(x-1).$

E quindi il mcm in questo caso è

$\operatorname {mcm} (x^{3},ab(x^{2}-2x+1),(1-x))=\operatorname {mcm} (ab,x^{3}(1-x)^{2})=\operatorname {mcm} (ab,x^{3}(x-1)^{2})=abx^{3}(x-1)^{2}.$

Esempi

• Calcolo di $\operatorname {mcm} (3,5,7)$

i tre numeri sono primi, quindi

$\operatorname {mcm} (3,5,7)=3\cdot 5\cdot 7=105.$

• Calcolo di $\operatorname {mcm} (2,25,7,12)$:

i numeri non primi devono essere scomposti in fattori primi

$7=7$

$12=3\cdot 2\cdot 2=3\cdot 2^{2}$

$25=5\cdot 5=5^{2}$

quindi risulta

$\operatorname {mcm} (2,25,7,12)=\operatorname {mcm} (3,4,7,25)=2^{2}\cdot 3\cdot 5^{2}\cdot 7=2100.$

i fattori primi $2$ e $5$ sono stati presi con esponente massimo $2$.

Bibliografia

• (EN) Helmut Hasse, Number Theory (reprint edition), New York, Springer-Verlag, 2002, ISBN 9783540427490.

Voci correlate

• Massimo comun divisore
• Criteri di divisibilità

Altri progetti

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Collegamenti esterni

• mìnimo comune mùltiplo, su Treccani.it – Enciclopedie on line, Istituto dell'Enciclopedia Italiana.
• mcm, su Vocabolario Treccani, Istituto dell'Enciclopedia Italiana.
• m.c.m., su sapere.it, De Agostini.
• (EN) least common multiple, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Minimo comune multiplo, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Minimo comune multiplo, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.
• M.c.m., in Grande Dizionario di Italiano, Garzanti Linguistica.
• Minimo comune multiplo su Vikidia
• (EN) Calcolo del mcm online, su easycalculation.com.
• (EN) Calcolo di mcm e MCD, su algebra.com. URL consultato il 27 febbraio 2006 (archiviato dall'url originale il 27 settembre 2007).

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