Quadrivelocità

In fisica, in particolare nella teoria della relatività ristretta e in relatività generale, la quadrivelocità di un oggetto è un quadrivettore, ambientato nello spaziotempo di Minkowski, che generalizza la velocità tridimensionale definita nella meccanica classica. Si tratta di una grandezza cinematica tale per cui la velocità della luce è costante in ogni sistema di riferimento inerziale.

Definizione

Nello spaziotempo di Minkowski l'evoluzione delle coordinate spaziali di un oggetto nel tempo è descritta da una curva, che è parametrizzata dal tempo proprio. La quadrivelocità è il vettore che ha per componenti la variazione delle coordinate spaziali e temporali rispetto al tempo proprio. La sua norma, invariante per trasformazioni di Lorentz, è solitamente posta uguale alla velocità della luce $c$ (esso ha quindi solo direzione variabile).

Esplicitamente, la quadrivelocità è definita come il vettore:

$v^{\mu }=\gamma \left(c,\mathbf {v} \right)$

dove $\gamma$ è il fattore di Lorentz:

$\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {\|\mathbf {v} \|^{2}}{c^{2}}}}}}$

con $\|\mathbf {v} \|$ la norma euclidea della velocità classica $\mathbf {v}$.

Derivazione

In meccanica classica la traiettoria di un oggetto è descritta in tre dimensioni dalle sue coordinate $x_{i}(t)$, con $i\in \{1,2,3\}$, espresse in funzione del tempo $t$:

$\mathbf {x} =\left(x_{i}(t)\right)={\begin{bmatrix}x_{1}(t)\\x_{2}(t)\\x_{3}(t)\\\end{bmatrix}}$

dove $x_{i}(t)$ è l'i-esima componente della posizione al tempo $t$. Le componenti della velocità ${\mathbf {v} }$ nel punto $p$ tangente alla traiettoria sono:

${\mathbf {v} }={\mathrm {d} \mathbf {x} \over \mathrm {d} t}=\left({\mathrm {d} x_{i} \over \mathrm {d} t}\right)=\left({\frac {\mathrm {d} x_{1}}{\mathrm {d} t}}\;,{\frac {\mathrm {d} x_{2}}{\mathrm {d} t}}\;,{\frac {\mathrm {d} x_{3}}{\mathrm {d} t}}\right)$

dove le derivate sono valutate in $p$.

Nello spaziotempo di Minkowski le coordinate sono $x^{\mu }(\tau )$, con $\mu \in \{0,1,2,3\}$, in cui $x_{0}$ è la componente temporale moltiplicata per c. La parametrizzazione avviene inoltre in funzione del tempo proprio $\tau$:

$x^{\mu }(\tau )={\begin{bmatrix}x_{0}(\tau )\\x_{1}(\tau )\\x_{2}(\tau )\\x_{3}(\tau )\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}ct\\x_{1}(t)\\x_{2}(t)\\x_{3}(t)\\\end{bmatrix}}$

Considerando il fenomeno detto dilatazione dei tempi:

$t=\gamma \tau \,$

la quadrivelocità relativa a $\mathbf {x} (\tau )$ è definita come:

$v^{\mu }={\frac {\mathrm {d} x^{\mu }(\tau )}{\mathrm {d} \tau }}$

Componenti

La relazione tra $t$ e $x_{0}$ è data da

$x_{0}=ct=c\gamma \tau \,$

Effettuando la derivata rispetto al tempo proprio $\tau \,$ si ottiene la componente $v^{\mu }$ per $\mu =0$:

$v_{0}={\frac {\mathrm {d} x_{0}}{\mathrm {d} \tau \;}}=c\gamma$

Utilizzando la regola della catena, per $\mu =i=1,2,3$ si ha:

$v_{i}={\frac {\mathrm {d} x_{i}}{\mathrm {d} \tau }}={\frac {\mathrm {d} x_{i}}{\mathrm {d} x_{0}}}{\frac {\mathrm {d} x_{0}}{\mathrm {d} \tau }}={\frac {\mathrm {d} x_{i}}{\mathrm {d} x_{0}}}c\gamma ={\frac {\mathrm {d} x_{i}}{\mathrm {d} (ct)}}c\gamma ={1 \over c}{\frac {\mathrm {d} x_{i}}{\mathrm {d} t}}c\gamma =\gamma {\frac {\mathrm {d} x_{i}}{\mathrm {d} t}}=\gamma v_{i}$

dove si è sfruttato il fatto che in meccanica classica:

$v_{i}={dx_{i} \over dt}$

La quadrivelocità è pertanto:

$v^{\mu }=\gamma \left(c,\mathbf {v} \right)$

Norma

Per calcolare la norma che è costante, prendiamo il seguente caso: sistema a riposo $\gamma =1$ e $\mathbf {v} =0$, pertanto $v^{\mu }=(c,0,0,0)$ e la direzione del vettore è l'asse temporale.

Si ha:

$v_{\mu }v^{\mu }=c^{2}$

se la segnatura della metrica di Minkowski è $(-1,1,1,1)$:

$v_{\mu }v^{\mu }=-c^{2}$

e inoltre:

$\|v^{\mu }\|={\sqrt {|v_{\mu }v^{\mu }|}}=c$

La norma della quadrivelocità è dunque pari alla velocità della luce. La norma della trivelocità $\mathbf {v}$ non è ovviamente un invariante (tranne il caso in cui $\mathbf {v} =c$). Differenziando, nella trivelocità $\mathbf {v}$, una componente di trascinamento, $v_{0}$, e una componente riferita al sistema in moto, $\mathbf {v} _{1}$, si può calcolare la diminuzione di $\mathbf {v} _{1}$quando essa è misurata nel sistema in quiete.

Bibliografia

• Richard Feynman, La fisica di Feynman, Bologna, Zanichelli, 2001, ISBN 978-88-08-16782-8.:
  • Vol I, par. 13.1: I quadrivettori, p.25-4
• (EN) John D Jackson, Classical Electrodynamics, 3rd Edition, Wiley, 1999, ISBN 0-471-30932-X.

Voci correlate

• Composizione delle velocità
• Dilatazione del tempo
• Quadriaccelerazione
• Quadrivettore
• Spaziotempo di Minkowski