Sistema di equazioni lineari

matematica
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In matematica, e in particolare in algebra lineare, un sistema di equazioni lineari, anche detto sistema lineare, è un sistema composto da più equazioni lineari che devono essere verificate tutte contemporaneamente. Una soluzione del sistema è un vettore i cui elementi sono le soluzioni delle equazioni che compongono il sistema, ovvero tali che se sostituiti alle incognite rendono le equazioni delle identità.

Definizione

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Un sistema di equazioni lineari è un insieme di   equazioni lineari in   incognite, che può essere scritto nel modo seguente:[1][2]

 

Il numero   delle incognite è detto anche ordine del sistema.

Se i termini noti   sono tutti nulli il sistema è detto omogeneo.

Una  -upla   di elementi nel campo è una soluzione del sistema se soddisfa tutte le   equazioni.[3]

Due sistemi si dicono equivalenti se hanno lo stesso insieme di soluzioni. In particolare, due sistemi lineari sono equivalenti se ogni equazione di uno è combinazione lineare delle equazioni dell'altro.[4]

Forma matriciale

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In notazione indiciale il sistema si scrive:

 

Definendo i vettori dei coefficienti:

 

e il vettore degli   termini noti:

 

il sistema è equivalente alla combinazione lineare:[1]

 

Definendo   il vettore delle   incognite:

 

ciascuna equazione è equivalente ad un prodotto scalare standard:[5]

 
 
 

Se il sistema è omogeneo il vettore delle incognite è quindi ortogonale ai vettori dei coefficienti.

Usando le matrici ed il prodotto scalare fra matrici (prodotto riga per colonna) si possono separare i coefficienti, le incognite ed i termini noti del sistema, scrivendolo nel modo seguente:

 

Ora se  è la matrice   dei coefficienti:

 

di cui in effetti   sono le colonne, con le definizioni del vettore delle incognite e di quello dei termini noti il sistema si scrive finalmente in forma matriciale:

 

Matrice completa

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Il sistema può essere descritto usando la matrice completa:

 

detta matrice associata al sistema. Essa è ottenuta dalla giustapposizione della matrice dei coefficienti e del vettore dei termini noti.

Le matrici   e   sono dette rispettivamente matrice incompleta (o matrice dei coefficienti) e completa (o orlata). I numeri   sono le incognite, i numeri   sono i coefficienti ed i numeri   i termini noti. Coefficienti e termini noti sono elementi di un campo, ad esempio quello formato dai numeri reali o complessi.

Caratteristiche

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Il grado di un sistema di equazioni polinomiali è definito come il prodotto dei gradi delle equazioni che lo compongono. Quindi un sistema lineare è un sistema polinomiale di primo grado.

In generale, un sistema lineare può essere:

  • Determinato, quando ha una sola soluzione.
  • Impossibile, quando non ha nessuna soluzione.
  • Indeterminato, quando ha infinite soluzioni.
  • Numerico, quando le soluzioni sono rappresentate da numeri.
  • Letterale, quando le soluzioni sono rappresentate da espressioni letterali.
  • Omogeneo, quando i termini noti sono tutti zero.

Se il campo   di appartenenza di coefficienti e termini noti di un sistema di ordine   è infinito, ci sono tre possibilità: esiste una sola soluzione, non ci sono soluzioni oppure ce ne sono infinite. Il teorema che asserisce questo fatto e che permette di stabilire se e quante soluzioni esistono senza risolvere il sistema è il teorema di Rouché-Capelli. Nel caso in cui esistano soluzioni, queste formano un sottospazio affine di  .

Il sistema omogeneo associato

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Si consideri l'operazione lineare:

 

Il nucleo di   è lo spazio delle soluzioni del sistema omogeneo associato, mentre l'immagine è lo spazio generato dalle colonne  . Per il teorema del rango segue che la dimensione dello spazio delle soluzioni più il rango per colonne di   è pari ad  .

Essendo il vettore delle incognite ortogonale ai vettori riga della matrice dei coefficienti, lo spazio delle soluzioni è il complemento ortogonale del sottospazio generato dalle righe di  . La somma delle rispettive dimensioni deve pertanto essere pari ad  .

Dalle due affermazioni precedenti si conclude che il rango   per righe è pari al rango per colonne, e che lo spazio delle soluzioni ha dimensione  .[5] Lo spazio delle soluzioni è dunque un sottospazio vettoriale di dimensione  .

Lo spazio delle soluzioni

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  Lo stesso argomento in dettaglio: Teorema di Rouché-Capelli.

Il sistema ammette soluzione se e solo se il vettore   è l'immagine del vettore   ottenuta mediante l'applicazione lineare   definita nel seguente modo:

 

L'immagine di   è generata dai vettori dati dalle colonne di  , e quindi   è nell'immagine se e solo se lo span delle colonne di   contiene  , cioè se e solo se lo spazio generato dalle colonne di   è uguale allo spazio generato dalle colonne di  . In modo equivalente il sistema ammette soluzione se e solo se le due matrici abbiano lo stesso rango, come stabilisce il teorema di Rouché-Capelli.

Se esiste una soluzione  , ogni altra soluzione si scrive come  , dove   è una soluzione del sistema lineare omogeneo associato:[6]

 

Infatti:

 

Lo spazio delle soluzioni, ottenuto traslando il nucleo con il vettore  , è quindi il sottospazio affine dato da:

 

La dimensione dello spazio delle soluzioni del sistema completo è uguale alla dimensione dello spazio delle soluzioni del sistema omogeneo associato.[7] Per il teorema di Rouché-Capelli tale soluzione è unica se e solo se il rango della matrice   è  . Altrimenti se il campo   è infinito esistono infinite soluzioni, e queste formano un sottospazio vettoriale di  , avente come dimensione la nullità   della matrice.

Strumenti per la risoluzione

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  Lo stesso argomento in dettaglio: Sistema di equazioni.

Dato un sistema lineare nella forma

 

dove   è il vettore colonna delle incognite,   è il vettore colonna dei termini noti e   è la matrice dei coefficienti ed è quadrata e invertibile, la soluzione è unica ed è pari al prodotto:

 

dove   è l'inversa di  . Il calcolo della matrice inversa è spesso complicato e oneroso dal punto di vista computazionale, ragion per cui un sistema lineare normalmente non viene risolto calcolando direttamente la matrice inversa.

Di grande importanza teorica per i sistemi lineari, ma non utilizzata in pratica per motivi simili, è la regola di Cramer.

Di uso generale per sistemi con migliaia di equazioni è invece il metodo di eliminazione di Gauss, che si basa sul metodo di riduzione.

Il metodo di riduzione

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Il metodo di riduzione è specifico per i sistemi lineari. Il procedimento consiste nel sostituire una delle equazioni del sistema con una opportuna combinazione lineare di due equazioni del sistema stesso, ottenendo un sistema equivalente a quello dato. Più precisamente, se due righe sono espresse come prodotto tra opportune sottomatrici dei coefficienti e il vettore x delle soluzioni, ovvero

 

allora è possibile sostituire una delle due con l'equazione

 .

dove   e   sono due numeri scalari qualsiasi, entrambi diversi da zero.

  1. ^ a b Lang, p. 61.
  2. ^ Hoffman, Kunze, p. 3.
  3. ^ Hoffman, Kunze, p. 4.
  4. ^ Hoffman, Kunze, p. 6.
  5. ^ a b Lang, p. 176.
  6. ^ Lang, p. 177.
  7. ^ Lang, p. 178.

Bibliografia

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  • Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992, ISBN 88-339-5035-2.
  • (EN) Kenneth Hoffman e Ray Kunze, Linear Algebra, 2ª ed., Englewood Cliffs, New Jersey, Prentice-Hall, 1971, ISBN 0-13-536821-9.
  • F. Odetti e M. Raimondo, Elementi di Algebra Lineare e Geometria Analitica, ECIG, 1992, ISBN 88-7545-717-4.

Voci correlate

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