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Algoritmo di Ada Lovelace per i numeri di Bernoulli

L'algoritmo di Ada Lovelace (nata Ada Byron) permette di calcolare i numeri di Bernoulli. Questo algoritmo è noto soprattutto per essere stato il primo programma della storia dell'informatica.

Nota G, diagramma di Ada Lovelace: fu il primo algoritmo per computer pubblicato

La formula utilizzataModifica

Come si vede dal diagramma in figura e dal testo relativo disponibile in lingua inglese[1], Ada Lovelace nell'implementare il suo algoritmo si servì della seguente formula:

 

dove abbiamo sostituito gli indici dispari usati da Ada con i pari secondo la moderna notazione dei Numeri di Bernoulli. Utilizzando il fattoriale decrescente possiamo scrivere in forma compatta:

 

essendo il   la precedente equivale a

 

Le fonti concordano[2] con Ada stessa[1], sul fatto che questa formula derivi dalla funzione generatrice e anche nel fornire solo un accenno di dimostrazione per giustificarlo:

 

La funzione generatrice può considerarsi una uguaglianza fra serie formali di potenze o fra funzioni analitiche; in questo caso per la convergenza della serie si chiede che x abbia valore assoluto minore di 2π (il raggio di convergenza della serie stessa).

È sicuramente più semplice mostrare invece che la formula usata dalla Byron non è altro che la consueta formula di ricorrenza:

 

resa più efficiente per il calcolo automatico. Per questo è sufficiente notare che:

 

e che

 
 

Come si può controllare nella nota G in figura questa è la funzione utilizzata da Ada dato che ai suoi tempi, come aveva indicato anche Jacob Bernoulli nel suo "Ars Conjectandi" più di un secolo prima i numeri di Bernoulli cominciavano dopo i primi due attuali che quindi vanno sostituiti con i loro valori numerici per ottenere la formula usata. Nella nota Ada scrive   che chiaramente corrispondono ai nostri   .

NoteModifica

  1. ^ a b Lovelace.
  2. ^ Adity Kar, Ada Lovelace, su people.maths.ox.ac.uk (archiviato dall'url originale il 3 luglio 2017).

BibliografiaModifica

  • (EN) Luigi F. Menabrea, Nota G di Ada Lovelace, in Sketch the analytical engine invented by Charles Babbage, Bibliothèque Universelle de Genève, 1842. URL consultato il 19 giugno 2017.

Voci correlateModifica