Apri il menu principale

Ortogonalizzazione di Gram-Schmidt

(Reindirizzamento da Algoritmo di Gram-Schmidt)

Cenni storiciModifica

Il procedimento è così chiamato in onore del matematico danese Jørgen Pedersen Gram (1850-1916) e del matematico tedesco Erhard Schmidt (1876-1959); esso però è stato introdotto precedentemente ai loro studi e si trova in lavori di Laplace e Cauchy.

Quando si implementa l'ortogonalizzazione su un computer, al processo di Gram-Schmidt di solito si preferisce la trasformazione di Householder, in quanto questa è numericamente più stabile, cioè gli errori causati dall'arrotondamento sono minori.

L'algoritmoModifica

Sia   uno spazio vettoriale reale con un prodotto scalare definito positivo. Siano   vettori linearmente indipendenti in  . L'algoritmo di Gram-Schmidt restituisce   vettori linearmente indipendenti   tali che:

 

e:

 

In altre parole, i vettori restituiti sono ortonormali, ed i primi   generano lo stesso sottospazio dei primi   vettori iniziali.[1]

ProcedimentoModifica

La proiezione ortogonale è la funzione che "proietta" il vettore   in modo ortogonale su  :[2]

 

Il procedimento di Gram–Schmidt permette di costruire una base ortogonale   a partire da una base generica  . Per calcolare   si proietta   ortogonalmente sul sottospazio   generato da  . Si definisce allora   come differenza tra   e questa proiezione, in modo che risulta garantito che esso sia ortogonale a tutti i vettori nel sottospazio  . Normalizzando poi la base ortogonale (cioè dividendo ogni vettore   che la compone per la propria norma  ) si ottiene una base ortonormale dello spazio.[3]

Nello specifico:

 
I primi due passi dell'algoritmo.

 

dove   è la base normalizzata.

Una verifica immediata della correttezza del procedimento eseguito, ovvero che si è ottenuto un insieme di vettori mutuamente ortogonali, è il calcolo del prodotto scalare fra   e  .

GeneralizzazioniModifica

Il processo di Gram-Schmidt si applica anche ad una successione infinita   di vettori linearmente indipendenti. Il risultato è sempre una successione   di vettori ortogonali e con norma unitaria, tale che:

 

Scrittura per mezzo del determinanteModifica

Il risultato del procedimento di Gram-Schmidt può essere espresso in modo non ricorsivo utilizzando il determinante:

 

dove  , e per   la matrice   è la matrice di Gram:

 

EsempioModifica

Dati i vettori   e   nel piano euclideo   munito del prodotto scalare standard, applicando il procedimento di Gram-Schmidt si ha:

 
 

ottenendo i vettori   e   che sono ortogonali fra loro, come mostra il loro prodotto scalare:

 

NoteModifica

  1. ^ a b Hoffman, Kunze, Pag. 280.
  2. ^ S. Lang, Pag. 152.
  3. ^ S. Lang, Pag. 154.

BibliografiaModifica

  • Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992, ISBN 88-339-5035-2.
  • (EN) Kenneth Hoffman, Ray Kunze, Linear Algebra, 2ª ed., Englewood Cliffs, New Jersey, Prentice - Hall, inc., 1971, ISBN 0-13-536821-9.
  • (EN) F.R. Gantmacher, The theory of matrices , 1 , Chelsea, reprint (1977)
  • (EN) A.G. Kurosh, Higher algebra , MIR (1972)

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica

  Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica