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Analisi dei sistemi dinamici

Nella teoria dei sistemi, l'analisi dei sistemi dinamici o teoria dei sistemi dinamici è lo studio del comportamento dei sistemi medesimi. Dal momento che la definizione di sistema dinamico è molto generale, sono diverse le discipline che propongono un modello matematico di sistema dinamico in riferimento a contesti particolari.

Ad esempio, in meccanica classica le equazioni del moto di Newton sono state riformulate dalla meccanica lagrangiana e dalla meccanica hamiltoniana, mentre in ingegneria i sistemi dinamici - che possono essere ad esempio circuiti - hanno una uscita (output) e un ingresso (input). Nel caso gli ingressi siano sottoposti ad un segnale aggiuntivo di controllo, si entra nell'ambito dell'analisi dei sistemi di controllo.

In tutti i casi, l'analisi dei sistemi dinamici viene effettuata impostando un sistema di una o più equazioni differenziali per le quali si specificano dei dati iniziali.

Definizione matematicaModifica

Sia   una varietà differenziale  -dimensionale, con   finito, e

 

un gruppo di diffeomorfismi di mappe regolari  . Allora la coppia   è detta sistema dinamico regolare continuo e invertibile (continuo perché  ).

Strumenti matematiciModifica

Rappresentazione in spazio di statoModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Spazio di stato.

Dominio della frequenzaModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Dominio della frequenza e Rappresentazione spettrale dei segnali.

Traiettorie nello spazio delle fasiModifica

Supponendo di perturbare un sistema ed osservando la traiettoria di una grandezza di interesse, si verificano casi di particolare interesse quando l'evoluzione tenderà a stabilizzarsi in una posizione di equilibrio, ovvero un punto fisso dell'evoluzione del sistema.

Gli equilibri di un sistema cambiano al variare di ingressi e disturbi (supposti costanti), ad esempio modificando la tensione ai capi di un motore varia la velocità raggiunta a regime. Lo studio degli equilibri di un sistema dinamico è di estremo interesse, tipicamente i problemi di controllo possono essere interpretati come una modifica del punto di equilibrio di un dato sistema. Un esempio semplice è dato dall'equilibrio termico di un appartamento, la cui temperatura interna è l'equilibrio imposto dalle condizioni ambientali ed interne. L'utilizzo di un condizionatore d'aria (sistema di controllo) modificando la temperatura interna alla stanza non fa altro che modificare il punto di equilibrio del sistema.

Stabilità e punti di equilibrioModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Teoria della stabilità.

Teoria delle biforcazioniModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Teoria delle biforcazioni.

AttrattoriModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Attrattore.

Teoria del controlloModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Controllo automatico.

Teoria ergodicaModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Teoria ergodica.

EsempioModifica

Per introdurre l'analisi di un sistema dinamico possiamo fare riferimento al modello costituito da un serbatoio d'acqua forato. In tale modello fissiamo le variabili e le costanti del sistema che si è creato. Abbiamo:

  • La sezione del serbatoio (S) che rimane costante nel tempo
  • Una costante generale K del liquido considerato che riassume: Densità liquido, dimensione foro ecc
  • Il livello di acqua nel serbatoio x(t) che definiamo come variabile di stato del sistema
  • La portata d'acqua entrante che definiamo come ingresso del sistema u(t)
  • La portata uscente dell'acqua che definiamo uscita del sistema y(t) che è proporzionale alla quantità di liquido sovrastante (ossia livello d'acqua per la sezione del serbatoio) e alla costante del sistema. Infatti y(t)=K*x(t)

Sappiamo che, essendo un serbatoio un sistema dinamico, il suo stato al tempo t è definito sia dalla variabile di ingresso, sia dalla variabile di uscita, sia dallo stato precedente del sistema x(t-∆t). Possiamo quindi definire la formula generale dei sistemi dinamici (del primo ordine: ossia quelli definiti da una sola variabile di uscita) per i quali:
∆x/∆t= A*x(t)+Bu(t)

Se voglio sapere il livello di acqua nel serbatoio all'istante t posso ragionare sulle variabili del sistema:

  1. So che u(t)-Kx(t) corrisponde alla quantità di liquido del serbatoio (quantità entrante meno quantità uscente)
  2. So che tale valore è uguale a S*∆x/∆t (in quanto tale valore corrisponde anch'esso alla variazione di livello di liquido all'interno del serbatoio nell'unità di tempo), quindi
  1. u(t)-Kx(t)= S*∆x/∆t
  2. Ricavo il rapporto ∆x/∆t e ottengo
  1. ∆x/∆t=kx(t)/S + u(t)/S che si ritrova perfettamente con la formula generale dei sistemi di primo ordine.

Se volessimo analizzare graficamente l'andamento dello Stato del sistema potremmo, tramite foglio di calcolo, determinare l'avanzare del sistema in funzione di un intervallo di tempo ∆t che viene scelto "empiricamente" tramite la formula ∆t=0,1/ASS(A) ossia 0,1 fratto il valore assoluto del coefficiente moltiplicante lo stato del sistema nella formula generale dei sistemi.
Graficamente otterrei un iniziale andamento esponenziale del sistema seguito da un EQUILIBRIO dello stato del sistema. Tendenza dei sistemi dinamici è infatti il raggiungimento di uno stato equilibrato che si conservi nel tempo.

Soluzioni numericheModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Metodi di soluzione numerica per equazioni differenziali ordinarie.

Le soluzioni numeriche sono degli algoritmi che permettono di approssimare la soluzione del sistema di equazioni differenziali che costituiscono il modello matematico del sistema. Questi algoritmi sono alla base dei software di simulazione come MATLAB/Simulink ed in linea generale possono risolvere anche problemi che non ammettono soluzioni in forma chiusa.

BibliografiaModifica

  • A. Balestrino, G. Celentano. Teoria dei sistemi, Liguori, 1985
  • A. Giua, C. Seatzu. Analisi dei sistemi dinamici, Springer
  • K.M. Hangos, J. Bokor, G. Szederkényi. Analysis and Control of Nonlinear Process Systems, Springer, 2004
  • Steven Strogatz. Nonlinear Dynamics and Chaos, Perseus Books Group, 2001

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica

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