Analisi della correlazione canonica

In statistica, l'analisi della correlazione canonica (CCA nell'acronimo inglese) è un metodo per inferire informazioni da matrici di covarianza incrociata. Dati due vettori di variabili aleatorie ${\textstyle X=(X_{1},\ldots ,X_{n})}$ e ${\textstyle Y=(Y_{1},\ldots ,Y_{m})}$ con correlazioni fra di esse, la CCA mira a trovare combinazioni lineari di $X$ e $Y$ che presentino la massima correlazione fra loro. Il metodo è stato proposto per primo da Harold Hotelling nel 1936, sebbene l'idea fosse presente già nel 1875 in una pubblicazione del matematico Camille Jordan.

Definizione

Dati due vettori colonna $X=(x_{1},\dots ,x_{n})'$ e $Y=(y_{1},\dots ,y_{m})'$ di variabili aleatorie, si definisce la covarianza incrociata $\Sigma _{XY}=\operatorname {cov} (X,Y)$ come matrice $n\times m$ il cui elemento $(i,j)$ è la covarianza $\operatorname {cov} (x_{i},y_{j})$. Nella pratica, si stima la matrice di covarianza in base a dati campionati da $X$ e $Y$ (ossia da una coppia di matrici di dati).

La CCA parte dalla ricerca dei vettori $a$ ($a\in \mathbb {R} ^{n}$) e $b$ ($b\in \mathbb {R} ^{m}$) tali che le variabili aleatorie $a^{T}X$ e $b^{T}Y$ massimizzino la correlazione $\rho =\operatorname {corr} (a^{T}X,b^{T}Y)$. Le variabili aleatorie $U=a^{T}X$ e $V=b^{T}Y$ costituiscono la prima coppia di variabili canoniche. Si cercano in seguito i vettori che massimizzano la stessa correlazione con il vincolo aggiuntivo di non essere correlati con la prima coppia di variabili canoniche; si definisce così la seconda coppia di variabili canoniche.

Tale procedura può essere ripetuta fino a $\min\{m,n\}$ volte.

$$(a',b')={\underset {a,b}{\operatorname {argmax} }}\operatorname {corr} (a^{T}X,b^{T}Y)$$