Anello artiniano

In algebra astratta, un anello artiniano è un anello in cui ogni successione decrescente di ideali è stazionaria (condizione della catena discendente). Come scoperto da Emil Artin, questa tipologia di anelli riunisce sotto la medesima classificazione due classi di anelli con proprietà simili:

• anelli formati da un numero finito di elementi;
• anelli che sono spazi vettoriali a dimensione finita su un campo.

Definizione

Per un generico anello, esistono più definizioni di anello artiniano:

• anello artiniano sinistro: anello i cui ideali sinistri soddisfano la condizione della catena discendente;
• anello artiniano destro: anello i cui ideali destri soddisfano la condizione della catena discendente;
• anello artiniano propriamente detto (o artiniano bilatero): anello artiniano destro e sinistro.

Se l'anello è commutativo, le tre definizioni sopra coincidono. Le definizioni coincidono anche per le due classi di anelli citate nell'introduzione.

Un modo equivalente di esprimere la definizione è richiedendo che l'anello sia un modulo artiniano su sé stesso (con le dovute varianti nel caso sinistro e destro).

Proprietà

• Il teorema di Artin-Wedderburn caratterizza gli anelli semplici artiniani come anelli di matrici su anelli con divisione; gli anelli artiniani semplici sono inoltre tutti bilateri;

• ogni anello artiniano sinistro (destro) è un anello noetheriano sinistro (destro).

Bibliografia

• Charles Hopkins, Rings with minimal condition for left ideals, in The Annals of Mathematics, vol. 40, n. 3, luglio 1939, pp. 712-730, DOI:10.2307/1968951. URL consultato il 29 aprile 2007.

Voci correlate

• Anello noetheriano

Collegamenti esterni

• anello artiniano, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• (EN) Eric W. Weisstein, Anello artiniano, su MathWorld, Wolfram Research.