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Anello (algebra)

struttura algebrica
(Reindirizzamento da Anello quoziente)

In matematica, in particolare in algebra astratta, un anello è una struttura algebrica composta da un insieme su cui sono definite due operazioni binarie, chiamate somma e prodotto, indicate rispettivamente con e , che godono di proprietà simili a quelle verificate dai numeri interi. La parte della matematica che li studia è detta teoria degli anelli.

Definizione formaleModifica

L'insieme  , dotato di due operazioni binarie   e  , è un anello se valgono le seguenti proprietà:

  è un gruppo abeliano con elemento neutro  :

  •  
  •  
  • esiste un elemento   tale che  
  • per ogni   esiste un elemento   tale che  

  è un semigruppo:

  •  

La moltiplicazione è distributiva rispetto alla somma:

  •  
  •  

Le relazioni devono valere per ogni  ,   e   in  .

Come per i numeri, il simbolo   per la moltiplicazione è spesso omesso.

Spesso vengono studiati anelli che posseggono ulteriori proprietà: se anche la moltiplicazione è commutativa,   è detto anello commutativo, se ammette un elemento neutro (generalmente indicato con  ; cioè   è un monoide) allora l'anello è unitario; se poi l'anello è commutativo e non esistono divisori dello   (cioè se   allora almeno uno tra   e   è  ) si è in presenza di un dominio d'integrità.

Un corpo è un anello con unità i cui elementi non nulli hanno inverso moltiplicativo. Un campo è un anello commutativo con unità i cui elementi non nulli hanno inverso moltiplicativo, ossia un corpo commutativo. L'esempio più importante di corpo non commutativo è il corpo   dei quaternioni, mentre gli insiemi   (numeri razionali),   (numeri reali) e   (numeri complessi) sono esempi di campi.

A volte la definizione di anello è lievemente diversa. La più importante di queste differenze è la richiesta che l'anello possegga anche l'unità: tra i matematici che adottano questa definizione vi sono Bourbaki[1] e Serge Lang[2]. In questo caso, per riferirsi alla struttura qui presentata come anello, viene usato il termine pseudoanello. Altri autori non richiedono l'associatività del prodotto [3].

EsempiModifica

L'esempio più basilare della struttura di anello è l'insieme   dei numeri interi, dotato delle usuali operazioni di somma e prodotto. Tale anello è commutativo ed è un dominio d'integrità. L'insieme dei numeri naturali non è invece un anello, perché non esistono gli inversi rispetto all'addizione.

Allo stesso modo, l'insieme   dei polinomi con variabile   e coefficienti in un anello   formano un anello con le usuali operazioni di somma e prodotto fra polinomi. Tale anello eredita molte proprietà da quelle di  , quali la commutatività e l'assenza di divisori dello 0. Anche l'insieme   delle funzioni da un insieme qualsiasi   ad un anello   forma un altro anello con le usuali operazioni di somma e prodotto fra funzioni punto a punto, definite nel modo seguente:

 

Un anello non commutativo è invece l'anello delle matrici   (con  ) a valori in un anello   (indicato con  ), con le operazioni di somma e prodotto fra matrici. Generalmente questo anello possiede anche dei divisori dello zero. Ad esempio, in   valgono le relazioni:

 
 

e

 

Teoremi di baseModifica

A partire dagli assiomi, si può dedurre immediatamente che per ogni   e   in un anello  :

  •  
  •  

Se poi l'anello   è unitario, allora

  • l'unità è unica,
  •  
  •   se   e   hanno inversi rispetto al prodotto,
  • se   allora l'anello è formato da un solo elemento,

Un altro importante teorema, che non richiede l'esistenza dell'unità, è il teorema del binomio:

 

valido per ogni coppia di elementi   e   che commutano (cioè tali che  ).

SottostruttureModifica

Un sottoanello di un anello   è un sottogruppo   di   che sia chiuso rispetto al prodotto. In altre parole,   è un sottoinsieme non vuoto di  , e se   e   sono in  , allora anche   e   sono in  . Poiché gli assiomi elencati sopra continuano a valere per  , anch'esso è un anello rispetto alle operazioni   e   di  . In questo modo costruiamo facilmente altri esempi:

  • I numeri interi divisibili per   sono un sottoanello di  .
  • I numeri razionali con denominatore dispari sono un sottoanello di  .
  • L'insieme di tutti i numeri reali della forma   con   e   interi è un sottoanello di  .
  • Gli interi gaussiani   in  , dove   e   sono interi, sono un sottoanello di  .
  • I polinomi in   del tipo   sono un sottoanello di  .
  • L'insieme delle frazioni diadiche costituisce un sottoanello dei numeri razionali.

Un particolare sottoanello è il centro di un anello  : esso comprende tutti gli elementi che commutano (moltiplicativamente) con qualsiasi elemento di  . Esso coincide con l'intero anello se e solo se   è un anello commutativo.

A partire da un sottoanello   di   e da un sottoinsieme  , si può costruire il più piccolo sottoanello contenente   ed  : esso è indicato con  , ed è uguale all'insieme delle combinazioni degli elementi di   mediante le operazioni di anello. Tale operazione è detta estensione di anelli, ed è "finitamente generata" se   è finito.

IdealiModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: ideale (matematica).

Spesso tuttavia al posto di questa struttura si preferisce usare quella, più forte, di ideale: esso è definito in un anello commutativo come un particolare sottoanello tale che tutti i prodotti  , dove   è un elemento dell'anello e   appartiene all'ideale, sono ancora elementi dell'ideale. Se invece l'anello non è commutativo, è necessario distinguere tra ideali destri e sinistri: i primi sono quelli tali che   appartiene all'ideale per ogni   nell'ideale e   nell'anello, mentre per i secondi, allo stesso modo,   appartiene all'ideale. Se un ideale è sia destro che sinistro, viene detto bilatero o bilaterale.

L'importanza di questa struttura risiede nel fatto che il nucleo di un omomorfismo tra due anelli è sempre un ideale bilatero di  , e che a partire da un ideale bilatero   è possibile costruire l'anello quoziente  . Inoltre la presenza di ideali permette di stabilire un'importante proprietà dell'anello: esso è infatti un campo se e solo se è privo di ideali non banali (cioè diversi dall'insieme   e dall'anello stesso).

A seconda del rapporto di un ideale con il resto dell'anello, sono possibili ulteriori specificazioni: un ideale primo   è un ideale tale che, per ogni prodotto ab che appartiene ad  , almeno uno tra   e   appartiene ad   (il nome deriva dalla similitudine di questa definizione con il lemma di Euclide riguardante i numeri primi); se invece non esistono ideali "intermedi" tra   ed   (cioè se l'unico ideale di   che contiene   è   stesso) si parla di ideale massimale. Questi due tipi di ideali sono particolarmente importanti in relazione ai loro quozienti: in un anello commutativo, infatti,   è primo se e solo se   è un dominio d'integrità, mentre se l'anello è anche unitario   è massimale se e solo se   è un campo. Questo implica anche che, in un anello commutativo unitario, ogni ideale massimale è primo.

Il lemma di Krull (la cui dimostrazione si basa sul lemma di Zorn) afferma che ogni anello unitario possiede almeno un ideale massimale; se esso è unico, l'anello si dice locale. L'insieme degli ideali primi di un anello commutativo   forma il cosiddetto spettro di  .

Elementi invertibiliModifica

Un elemento   di un anello   con unità è invertibile se esiste un   tale che  .

Gli elementi invertibili di un anello sono spesso chiamati unità. Normalmente è il contesto che chiarisce se si parla di unità intesa come l'elemento neutro moltiplicativo, o di unità intesa come elemento invertibile.

L'insieme degli elementi invertibili in   è generalmente descritto come  . L'insieme   forma un gruppo con l'operazione prodotto, chiamato gruppo moltiplicativo di  .

Ad esempio, nei numeri interi il gruppo moltiplicativo è dato dai due elementi  . In un corpo o in un campo, il gruppo moltiplicativo coincide con tutto l'anello privato dell'elemento neutro.

OmomorfismiModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Omomorfismo di anelli.

Un omomorfismo tra due anelli   e   è una funzione che preserva le operazioni, cioè una funzione   tale che, per ogni coppia di elementi   e   di  , si ha   e  . Gli omomorfismi quindi preservano in qualche modo la struttura algebrica; particolarmente importanti tra di essi sono gli isomorfismi, ovvero gli omomorfismi biunivoci, che la conservano completamente: due anelli isomorfi possono essere considerati "uguali" per tutte le proprietà algebriche.

Ogni omomorfismo mappa lo zero di   nello zero di  , mentre questo non avviene per l'unità, nemmeno se entrambi gli anelli sono unitari: condizioni sufficienti perché questo avvenga è che l'omomorfismo sia suriettivo oppure che nel codominio non esistano divisori dello zero. Il nucleo di un omomorfismo è un ideale bilatero di  , e viceversa ogni ideale è il nucleo di un omomorfismo: invece l'immagine di   è un sottoanello di  . Gli omomorfismi preservano in una certa misura anche le sottostrutture: l'immagine di un sottoanello è un sottoanello, mentre l'immagine di un ideale è un ideale nell'immagine di  , ma non necessariamente in  .

Una relazione molto importante è il teorema fondamentale di omomorfismo, che permette di trovare degli isomorfismi a partire dagli omomorfismi: se   è un omomorfismo tra   e   e   è il suo nucleo, allora il quoziente   è isomorfo all'immagine  .

Un omomorfismo suriettivo può essere considerato una proiezione di un anello   su un suo quoziente   (dove   è il nucleo); un omomorfismo iniettivo, invece, può essere considerato un'inclusione di un anello nell'altro, perché, per il teorema di omomorfismo, esiste nel codominio un'immagine isomorfa ad  , che quindi può essere considerata uguale ad  . Se   è un campo, inoltre, tutti gli omomorfismi non nulli sono iniettivi, in quanto gli unici ideali sono quelli banali.

Prodotto direttoModifica

Il prodotto diretto di due anelli   e   è il prodotto cartesiano   con le operazioni definite termine a termine:

 
 

Questo nuovo insieme forma un anello, in cui lo   è la coppia  . Diverse proprietà di questo nuovo anello possono essere dedotte dalle proprietà degli anelli di partenza:   è commutativo se e solo se lo sono entrambi i fattori, mentre se   e   sono unitari allora   è l'unità di  . Una proprietà che invece non passa al prodotto è l'assenza di divisori degli zeri: infatti il prodotto   è sempre uguale a  , anche se   e   non sono zeri. Questo implica che il prodotto diretto di campi non è mai un campo, a meno che uno non sia ridotto al solo  .

Questa definizione si può estendere naturalmente al prodotto cartesiano di   anelli.

Elementi primi ed irriducibiliModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Fattorizzazione (teoria degli anelli).

In un dominio d'integrità è possibile come in   studiare la fattorizzazione di un dato elemento (non invertibile). In questo contesto, la definizione di divisibilità si estende naturalmente al caso di qualsiasi dominio:   divide   se esiste un elemento   tale che  . Se   è invertibile,   e   si dicono associati.

Due definizioni emergono naturalmente in questo studio:

  • un elemento   è irriducibile se, ogniqualvolta che  , allora o   o   è invertibile;
  • un elemento   è primo se, quando   divide il prodotto  , allora   divide almeno uno tra   e  .

In  , queste due definizioni sono equivalenti, ma questo non è vero in generale: gli elementi primi sono irriducibili, ma gli irriducibili non sono sempre primi. Ad esempio, nell'anello

 

  è irriducibile ma non primo, perché divide il prodotto  , ma non divide né un fattore né l'altro.

Questa seconda implicazione è tuttavia verificata negli anelli a fattorizzazione unica, ovvero in quegli anelli in cui, date due fattorizzazioni in irriducibili

 

allora  , e ogni   è associato ad un  . In ogni dominio a fattorizzazione unica esistono il massimo comun divisore e il minimo comune multiplo tra ogni coppia di elementi.

Anelli con ancora maggiori proprietà sono gli anelli ad ideali principali e gli anelli euclidei, in cui è possibile effettuare la divisione euclidea come negli interi. A quest'ultima classe appartengono anche gli anelli di polinomi  , dove   è un campo.

NoteModifica

  1. ^ (EN) Elements of Mathematics, Vol. II Algebra, Ch. 1, Springer
  2. ^ (EN) Algebra, 3rd edition, Springer, ch. II
  3. ^ (EN) https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Non-associative_rings_and_algebras

BibliografiaModifica

Voci correlateModifica

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