Teorema di Abel

In matematica, il teorema di Abel o teorema della convergenza radiale di Abel mette in relazione il limite di una serie di potenze (reale o complessa) con la somma dei suoi coefficienti. Prende il nome dal matematico norvegese Niels Henrik Abel.

Enunciato

Sia:

$f(z)=\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}z^{i}$

una serie di potenze con coefficienti reali o complessi e raggio di convergenza $R>0$. Se la serie numerica:

$\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}R^{i}$

converge, allora:

$\lim _{z\rightarrow R}f(z)=\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}R^{i}$

purché il limite sia valutato su una successione di numeri reali, o più in generale all'interno di un angolo di Stolz, cioè una regione del disco aperto di centro l'origine e raggio $R$ in cui:

$|R-z|\leq M(R-|z|)$

per qualche $M$ fissato (il teorema è valido per qualsiasi scelta di $M$). Senza questa restrizione il limite può non esistere.

Nel caso speciale in cui tutti i coefficienti $a_{i}$ siano reali positivi per ogni $i$ il limite per $z\to R$ è valido anche quando la serie $\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}$ non converge, ma in questo caso ambo i membri della formula sono $+\infty$.

Dimostrazione

Possiamo supporre $R=1\!$. Sottraendo una costante da $a_{0}\!$, si può assumere che:

$\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}=0\!$

Sia $s_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}\!$. Allora sostituendo $a_{k}=s_{k}-s_{k-1}\!$, con semplici manipolazioni della serie si ha:

$f(z)=(1-z)\sum _{k=0}^{\infty }s_{k}z^{k}$

Dato $\epsilon >0$, sia n sufficientemente grande da consentire $|s_{k}|<\epsilon$ per tutti i $k\geq n$. Si nota che:

$\left|(1-z)\sum _{k=n}^{\infty }s_{k}z^{k}\right|\leq \epsilon |1-z|\sum _{k=n}^{\infty }|z|^{k}=\epsilon |1-z|{\frac {|z|^{n}}{1-|z|}}<\epsilon M\!$

quando $z$ è all'interno dell'angolo di Stoltz. Se $z$ è abbastanza vicino a 1 si ha:

$\left|(1-z)\sum _{k=0}^{n-1}s_{k}z^{k}\right|<\epsilon$

in modo che $|f(z)|<(M+1)\epsilon$ quando $z$ è nell'angolo di Stoltz ed è anche abbastanza vicino a 1.

Applicazioni

Se una serie di potenze:

$\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-z_{0})^{n}$

centrata in $z_{0}$ converge in un punto $z_{1}$, allora essa ha raggio di convergenza $R$ almeno:

$R\geq |z_{0}-z_{1}|$

Il teorema consente di valutare diverse serie in forma chiusa. Ad esempio, quando $a_{k}={\frac {(-1)^{k}}{(k+1)}}$ si ottiene:

$f(z)={\frac {\ln(1+z)}{z}}\qquad 0<z<1$

integrando la serie di potenze geometrica uniformemente convergente termine a termine sull'intervallo $[-z,\infty ]$. In questo modo la serie $\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(k+1)}}\!$ converge a $\ln(2)$ per il teorema di Abel. In modo simile, $\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(2k+1)}}\!$ converge ad $\arctan(1)={\frac {\pi }{4}}$.

La funzione $f(z)$ è la funzione generatrice della successione $\{a\}$.

Bibliografia

• (EN) Lars Valerian Ahlfors, Complex Analysis, Third, McGraw Hill Higher Education, 1º settembre 1980, pp. 41–42, ISBN 0-07-085008-9. - Ahlfors called it Abel's limit theorem.

Voci correlate

• Raggio di convergenza
• Serie di potenze

Collegamenti esterni

• Abel, teorema di, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• (EN) Eric W. Weisstein, Teorema di Abel, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) A.A. Zakharov, Abel summation method, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.
• (EN) Abel summability, in PlanetMath.